Помогите доказать или опровергнуть. (по мотивам м.т. Ферма)

[Ascar]

Пусть к - нечетное число, к - является составным числом
для которого верно два условия

$(4^{(k-1)}-1)$ делится на k нацело

$(k)mod(3) > 0$ (любой_делитель>4)


Предположение:
Для числа k найдется такое разложение
$k = x_{1}\cdot x_{2}\cdot...\cdot x_{n}$
(где $x_{1}, x_{2},... x_{n}$ являются целыми, нечетными числами, могут быть составными)
такое что
Каждая пара чисел
$(k-1);(x_{1}-1)$
$(k-1);(x_{2}-1)$
.....
$(k-1);(x_{n}-1)$
имеет общий делитель больше 2

ПЫ СЫ программно проверил до 150 тыщ исключения из правила не нашол

ПЫ СЫ2 формулы исправил

[PAV]

Тема перемещена из "Математики" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

не оформлены формулы

(Для модераторов)

после исправления подобрать теме подходящий раздел

[AKM]

Вернул.

[Батороев]

Это числа, псевдопростые по основанию 4, и числа Кармайкла.
У этих чисел свойства несколько шире, чем Вы сумели выявить.
Кстати число, имеющее остаток $k\equiv 0\pmod 3$, всего одно - это $k=561$.

[Ascar]

Батороев в сообщении #341114 писал(а):

Это числа, псевдопростые по основанию 4, и числа Кармайкла.
У этих чисел свойства несколько шире, чем Вы сумели выявить.
Кстати число, имеющее остаток $k\equiv 0\pmod 3$, всего одно - это $k=561$.

Про числа Кармайкла я знаю.
Но по ним вопросов нет. Я так понимаю там уже доказано (критерий Корсельта).
Тоесть если число является числом Кармайкла то отношение $(p-1)/(n-1)$ - целое!
где n - простое число, любой из делителей числа Кармайкла
естественно это означает если p не делится на 3 то и общий делитель $(p-1)/(n-1)$ будет больше 2

А вот интересно именно по ОДНОМУ основанию? Таких чисел гораздо больше чем чисел Кармайкла.
Мне даже кажется неважно какое основание 4, 5 или 6 и т.д. Главное чтоб одно рассматривалось.

Где можно почитать про свойства (слабых наверное)псевдо простых по ОДНОМУ основанию???

ПЫСЫ Кармакловы числа делищухся на 3 скорее всего бесконечно много
например $11921001 = 3 * 29 * 263 * 521$
наиболее полная таблица
http://de.wikibooks.org/wiki/Pseudoprim ... ael-Zahlen

[Батороев]

Про числа Кармайкла, кратные 3, это я погорячился... 561 - единственное, имеющее 3 простых делителя (на форуме как-то не так давно доказывали).
Про числа, псевдопростые по основанию заданного числа, как мне кажется, написано много. Погуглите в Интернете.
Большего подсказать Вам особо не смогу, т.к. сам увлекался одно время недолго, и то на любительском уровне, псевдопростыми по основанию 2 (которые кстати, будут псевдопростыми и по основанию 4, например: 2701, 4681).