2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить сумму
Сообщение01.08.2006, 19:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Вычислить сумму:
$$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(3n+1)(3n+2)}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2006, 21:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пусть
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+2}}{(3n+1)(3n+2)}.$$
Тогда
$$f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{3n} = \frac{1}{1-x^3}.$$
Поэтому
$$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2006, 22:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Другой способ. Пусть
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{3n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n+2}}{3n+2}.$$
Тогда искомая сумма равна $f(1).$

Мультисекция ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ дает формулу
$$f(x)=-\frac{1}{3} \sum_{j=1}^2 \ln(1-w^j x) (w^{-j}-w^{-2j}),$$
где $w=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ - корень 3-й степени из 1. Поэтому
$$f(1)=i \frac{\sqrt{3}}{3} (\ln(1-w) - \ln(1-w^2)) = -i \frac{\sqrt{3}}{3} \ln(1+w) = \frac{\sqrt{3}}{9} \pi.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2006, 22:55 
Аватара пользователя


28/06/06
138
maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл: $$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$
и почему у него такие странные пределы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2006, 23:04 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Woland писал(а):
maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл: $$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$
и почему у него такие странные пределы?

В чуть более общем виде можно утверждать, что если $f(0)=f'(0)=0$, то
$$f(a)=\int_0^a dy \int_0^y f''(x) dx.$$
Дело в том, что
$$\int_0^y f''(x) dx = f'(y) - f'(0) = f'(y)$$
и
$$\int_0^a f'(y) dy = f(a) - f(0) = f(a).$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 08:19 
Аватара пользователя


28/06/06
138
maxal писал(а):
Woland писал(а):
maxal проясните пожайлуста, откуда взялся интеграл: $$f(1) = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{dx}{1-x^3} = \frac{\sqrt{3}}{9}\pi.$$
и почему у него такие странные пределы?

В чуть более общем виде можно утверждать, что если $f(0)=f'(0)=0$, то
$$f(a)=\int_0^a dy \int_0^y f''(x) dx.$$
Дело в том, что
$$\int_0^y f''(x) dx = f'(y) - f'(0) = f'(y)$$
и
$$\int_0^a f'(y) dy = f(a) - f(0) = f(a).$$


Спасибо maxal но я хотел спросить не со всем это. Я хотел узнать, почему
первоначальную сумму, мы имеем право заменить интегральной суммой т.е.
почему они в данном случае должны совпадать? Ведь не во всех же случаях
мы можем вытащить функцию из под знака бексконечной суммы и засунуть её
под знак интеграла?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 09:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Woland писал(а):
Я хотел узнать, почему
первоначальную сумму, мы имеем право заменить интегральной суммой т.е.
почему они в данном случае должны совпадать?

Это следует из равномерной сходимости ряда, определяющего $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Woland писал(а):
интегральной суммой

Это корректный термин в данном случае? Мне кажется — нет, но поправьте меня, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
Woland писал(а):
интегральной суммой

Это корректный термин в данном случае? Мне кажется — нет, но поправьте меня, пожалуйста.


Конечно, некорректный. Тут применяется метод суммирования Пуассона - Абеля, в котором ряду $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ приписывается сумма, равная $\lim\limits_{x\to 1^-}\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k$. А двукратное дифференцирование с последующим двукратным интегрированием используются для вычисления суммы степенного ряда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2006, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Спасибо. Мне просто показалось, что вопрос Wolandа неправильно понят из-за терминологии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group