Утроение площади круга

[venco]

Виктор Ширшов в сообщении #338091 писал(а):

Mathusic в сообщении #338088 писал(а):

7 класс.
Есть круг радиуса $r$. Хотим с площадью $3r^2$ , то есть с радиусом $\sqrt{3}r$. Для построения $\sqrt{3}r$ достаточно отрезка $\sqrt{2}r$, поскольку искомый есть гипотенуза у треугольника с катетами $r$ и $\sqrt{2}r$. $\sqrt{2}r$ получаем как гипотенузу равнобедренного треугольника с катетом $r$. Всё

Mathusic. Сами-то поняли, что написали. Я лично не совсем.

Я думаю, это никого уже не удивляет.

Виктор Ширшов в сообщении #338091 писал(а):

Тем не менее резюмирую: Вы идёте правильным путём, правда, длинным.

А, что, где-то требовалась минимальность построения?
Тогда как Вы отнесётесь к такому:
Исходные данные - окружность с диаметром AB (иначе диаметр строим).
Строим две окружности с центрами в концах диаметра и радиусом, равным |AB|, и точку их пересечения C.
Строим окружность, концентрическую исходной, проходящую через точку C. Её площадь в 3 раза больше исходной.

[Виктор Ширшов]

venco в сообщении #338097 писал(а):

А, что, где-то требовалась минимальность построения?
Тогда как Вы отнесётесь к такому:
Исходные данные - окружность с диаметром AB (иначе диаметр строим).
Строим две окружности с центрами в концах диаметра и радиусом, равным |AB|, и точку их пересечения C.
Строим окружность, концентрическую исходной, проходящую через точку C. Её площадь в 3 раза больше исходной

А как Вам моё решение утроения площади круга.
Раствором циркуля, равным радиусу данного круга, вокруг любой точки окружности данного круга описываем такую же окружность (круг). Отрезок, соединяющий точки пересечения окружностей (кругов), равен $\sqrt{3}r$. После этого описываем круг требуемой площади на одном из концов этого отрезка.

-- Пт июл 09, 2010 21:20:34 --

Оценяю красивые построения gris и логические рассуждения Mathusic.
Кстати, нетрудно определить радиусы, позволяющие описать круги в 4, 5, 6, 7, 8 и так далее раз больше данного.
Такие задачки надо включать в школьные учебники, ибо они развивают умы подростков.

[gris]

Браво, Маэстро!
Вот он, подарок самому себе на День Рождения!
Я чувствовал, что Вы готовите нечто необычное, но тут решение настолько изящное, что по праву может называться истинно ширшовским.
Замечательно!!!

[Батороев]

Виктор Ширшов в сообщении #338245 писал(а):

Кстати, нетрудно определить радиусы, позволяющие описать круги в 4, 5, 6, 7, 8 и так далее раз больше данного.

На все случаи:

Берем отрезок прямой, равный $r\cdot (a+1)$, где $a=3; 4; 5; 6;...$
Используя этот отрезок в качестве диаметра, проводим окружность.
Через точку, отстоящую от конца отрезка на расстоянии $r$, опускаем перпендикуляр к отрезку до пересечения с окружностью.
Получили искомый радиус $r\sqrt a $.

[Батороев]

Хотел вчера дописать в конце, да по причине позднего времени забыл:

Такой способ годится для любых рациональных $a$ (в том числе и меньших $1$).

[bot]

gris в сообщении #338096 писал(а):

Ладно. Вот Вам ещё:

А зачем такие сложности?

$(\sqrt 3 r)^2=(2r)^2-r^2$

Отсюда и построение: берём окружность с диаметром $AB=2r$, отсекаем хорду $AC=r$, тогда $BC=\sqrt 3 r$.

-- Сб июл 10, 2010 14:12:20 --

Тю-у-у, а тут уже третья страница, оказывается есть.

[Виктор Ширшов]

bot в сообщении #338369 писал(а):

gris в сообщении #338096 писал(а):
Ладно. Вот Вам ещё:

А зачем такие сложности?

$(\sqrt{3}r^2)=(2r)^2-r^2$

Отсюда и построение: берём окружность с диаметром $AB=2r$, отсекаем хорду $AC=r$, тогда $BC=\sqrt{3}r$

bot. Как Вы хорду, равную $r$, отсекаете?

gris в сообщении #338251 писал(а):

Я чувствовал, что Вы готовите нечто необычное, но тут решение настолько изящное, что по праву может называться истинно ширшовским.
Замечательно!!!

Нужно такое же доказательство того, что получившийся отрезок равен $\sqrt{3}r$. Какие будут предложения?

[gris]

По теореме косинусов
$R^2=r^2+r^2-2r\cdot r \cdot \cos 120^{\circ}=r^2+r^2-2r^2 \cdot \left(-\dfrac12\right)=r^2+r^2+r^2=3r^2$

[Виктор Ширшов]

gris. Пояснять не надо, ибо есть другое доказательство "изящного".

[gris]

Вам не угодишь. То предложения требуете, то пояснять не надо. Ну скажите, что это удвоенная высота в равностороннем треугольнике. Или надо обойтись минимальным количеством букв?
Ужли Mathusic прав, и Вы вознамерились растянуть тему на 10 страниц?

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #338416 писал(а):

Вам не угодишь. То предложения требуете, то пояснять не надо. Ну скажите, что это удвоенная высота в равностороннем треугольнике

У меня она большая диагональ ромба.

[bot]

Виктор Ширшов в сообщении #338409 писал(а):

bot. Как Вы хорду, равную $r$, отсекаете?

Циркулем.

[ewert]

bot в сообщении #338517 писал(а):

Циркулем.

Не только. Ещё и линейкой.

[gris]

В данном случае линейка не нужна. Разве что для наглядности. Отрезок считется построенным, если построены его концы. Вот если радиус не задан, там уже линейка нужна.

[Батороев]

ewert в сообщении #338518 писал(а):

bot в сообщении #338517 писал(а):

Циркулем.

Не только. Ещё и линейкой.

Линейка bot'у может вовсе не понадобиться. Три раза черкнет от произвольной т. А по дуге окружности тем же раствором, что и провел окружность. И вот искомый радиус - между первым и третьим "чирками".
Так, что метод bot'a подразумевает использование лишь одного циркуля!!!