Сравнения по нечетному простому модулю.

[Imperator]

Доказать, что если $p$ - нечетное простое число, то
$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot ... \cdot (p-2)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$),
$2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot ... \cdot (p-1)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$).

[Руст]

Imperator писал(а):

Доказать, что если $p$ - нечетное простое число, то
$1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot ... \cdot (p-2)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$),
$2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot ... \cdot (p-1)^{2} \equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}$ ($mod$ $p$).

Это очень простой вопрос. Пусть g образующая по модулю p. Определим функцию lng(x) на ненулевых вычетах как степень, на которую надо возводить g, чтобы получился вычет х по модулю р. значения функции определены как вычеты по модулю p-1 (от нуля до р-2). Тогда очевидно $ lng(p-x)=lng(x)+a,a=\frac{p-1}{2}$
Это дает

$$b=\sum_{x=1}^a lng(x), \sum_{x=1}^{p-1} lng(x)=2b+a^2=-\frac{(p-2)(p-1)}{2}=-a.$$

Следовательно

$$\sum_{x=1}^a lng((2x)^2)=2alng(2)+2b=a(a+1),$$

$$\sum_{x=1}^a lng((2x-1)^)=\sum_{x=1}^a 2(\lng(2x)+a)=a(a+1).$$

Учитывая, что g в степени а равно -1 получаем требуемое.