2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел
Сообщение07.06.2010, 16:21 


11/11/07
80
Доброго времени суток всем!

Вот натолкнулся на такой предел:
$\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}$

думал, думал да так и не придумал как к нему подступиться. Пробовал логарифмировать, потом преобразовывать, но ничего дельного из этого не вышло. Никак не свести его к чему-то толковому. А да и еще забыл написать, что все это дело "оформить" по Лопиталю.

Буду благодарен за любые намеки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 16:22 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
$\exp$ - это константа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А не так?

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$

Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 16:59 


11/11/07
80
Mathusic в сообщении #328690 писал(а):
$\exp$ - это константа?

да $\exp$ это константа - число Эйлера.


gris в сообщении #328692 писал(а):
А не так?

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$

Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

К сожалению нет, а то все было бы совсем просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:06 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
zuj в сообщении #328699 писал(а):
gris в сообщении #328692 писал(а):
А не так?
$\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\frac{(1+x)^{\frac1x}}{e}\right)^{\frac1x}$
Тут хотя бы $e$ к месту. А тот предел тоже можно.

К сожалению нет, а то все было бы совсем просто.


Тогда надо бы писать ${x\to+0}$, но это мелочи. Ответьте, к чему стремится $x^{\frac{1}{x}}$, если $x\to 0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну я бы не сказал, что проще. У Вас $e$ очень упрощает дело. Без неё можно было бы и подумать, а с ней никакой Лопиталь не нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:23 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Так $\exp$ - это $e^1$ или $\gamma$? (последнюю обычно называют постоянной Эйлера)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:29 


11/11/07
80
Padawan в сообщении #328701 писал(а):
Ответьте, к чему стремится $x^{\frac{1}{x}}$, если $x\to 0$ ?

Ну ежели меня зрение не подводит, то это получится $0^{\infty}$, что по идее есть просто $0$.

gris в сообщении #328706 писал(а):
Ну я бы не сказал, что проще. У Вас $e$ очень упрощает дело. Без неё можно было бы и подумать, а с ней никакой Лопиталь не нужен.

А можно подсказку из зала :-).

id в сообщении #328708 писал(а):
Так $\exp$ - это $e^1$ или $\gamma$? (последнюю обычно называют постоянной Эйлера)

Это $e^1$ ... ну я вроде назвал ее числом, не постоянной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Без $e$ хотя бы неопределённость была.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:44 


11/11/07
80
gris в сообщении #328715 писал(а):
У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $


Ну после намека Padawan'а до этого я тоже додумался, но ведь в условии задачи требуется тоже самое только используя правило Лопиталя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Третий вариант

$\lim\limits_{x\to 0+}\left(1+x^{\frac1x}}\right)^{\frac1x}=$

Так как $x^{\frac1x}\to 0$, тут и по Лопиталю можно, если уж надо, то используем Второй ЗП:

$=\exp\left(\lim\limits_{x\to 0+}x^{\frac1x}\cdot{\frac1x}}\right)=\exp\left(\lim\limits_{x\to 0+}x^{(\frac1x-1)}}\right)=1$

В Вашем примере правило Лопиталя неприменимо, так как нет неопределённости. Ну разве что для $x^{\frac1x}\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 17:53 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris в сообщении #328715 писал(а):
У Вас получается $\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac{1+0}{\exp}\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Без $e$ хотя бы неопределённость была.

Вообще-то эквивалентными в произведении пользуются. Сомневаюсь я в правомощности такого перехода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
$\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}=\left(\frac1e+\frac{x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac1e+0\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

Ну это так, на глаз, а можно и строго расписать. Но нету там неопределённости, что поделать?

Это как $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin4x}{2x}$ можно по Лопиталю, а $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin4x}{2x}$ нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 18:17 


11/11/07
80
Большое спасибо всем кто принял участие в обсуждении данного вопроса. Теперь вроде бы все встало на свои места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел
Сообщение07.06.2010, 18:18 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
gris в сообщении #328725 писал(а):
$\left(\frac{1+x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}=\left(\frac1e+\frac{x^{\frac1x}}{\exp}\right)^{\frac1x}\sim \left(\frac1e+0\right)^{\frac1x}}\sim \left(C<1)^{\infty} $

...можно и строго расписать.

Это не правомощно. Вот таже техника: \left(1+x\right)^{1/x}\sim 1^{1/x}=1, x \to 0.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group