2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 13:26 


05/09/11
364
Петербург
Padawan в сообщении #567576 писал(а):
Там неудобно проверять аксиому непрерывности

Почему, можно доказать, что любая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел в поле вещественных чисел. Потом можно тоже доказать для фундаментальных последовательностей вещественных чисел. Вроде бы не очень сложно получается. Основная ценность такого способа введения вещественных чисел в том, что он почти бесплатно даёт ещё и теорию пределов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 13:36 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #567576 писал(а):
apriv в сообщении #567570 писал(а):
Например, определение вещественных чисел по Кантору гораздо проще.

Через классы эквивалентности фундаментальных последовательностей? Там неудобно проверять аксиому непрерывности (теорему о точной верхней грани).

Пусть $(a_i)$ — фундаментальная последовательность вещественных чисел. Выберем для каждого $i$ какую-нибудь фундаментальную последовательность рациональных чисел $(b_{ij})$, сходящуюся к $a_i$. Значит, для каждого $i$ найдется $n(i)$ такое, что разность $|a_i-b_{ij}|<1/2^i$ для всех $j>n(i)$. Положим $c_i=b_{i,n(i)}$. Это новая последовательность рациональных чисел, она фундаментальна (поскольку для любого $\varepsilon>0$ найдется $k$ такое, что для $i,j>k$ выполнено одновременно $|b_{i,n(i)}-a_i|<\varepsilon/3$ и $|a_i-a_j|<\varepsilon/3$, откуда $|c_i-c_j|=|b_{i,n(i)}-b_{j,n(j)}|<\varepsilon$) и эквивалентна последовательности вещественных чисел $(a_i)$. Класс последовательности $(c_i)$ и является пределом $(a_i)$. Поэтому поле $\mathbb R$ полно. Это и называется «аксиомой непрерывности», да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 14:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv
Аксиома непрерывности: если $A,B\subset\mathbb R$, $A\neq\varnothing, B\neq\varnothing$, и $a\leqslant b$ для любых $a\in A$, $b\in B$, то cуществует $c\in \mathbb R$ такое, что $a\leqslant c\leqslant b$ для любых $a\in A$, $b\in B$.

Можно заменить на равносильное утверждение о том, что любое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

-- Сб май 05, 2012 17:22:45 --

Всё-таки чисто технически способ через сечения -- самый быстрый. Хотя способ через фундаментальные последовательности более естественный, не спорю. Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Вот, я описывал построение http://dxdy.ru/topic36352.html. Правда, вместо сечений у меня "неполные сечения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 14:49 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #567602 писал(а):
Всё-таки чисто технически способ через сечения -- самый быстрый.

Ага, шестьдесят страниц ужаса, и вещественные числа готовы.
Padawan в сообщении #567602 писал(а):
Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Это принципиально не отличается от способа Кантора (бесконечная десятичная дробь это фактически и есть фундаментальная последовательность специального вида), но добавляет проблем (нужно бороться с девятками в периоде). А способ Кантора, кстати, допускает обобщения на другие ситуации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 14:56 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv
Да не нужны никакие обобщения пока. Стоит узкая задача -- исходя из имеющихся рац. чисел, построить систему действительных чисел, удовлетворяющую определенному набору аксиом.
Давайте, опишите построение, только без всяких очевидно и т.д., и увидите, какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна, проверять корректность определения операций. Это на словах все просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 15:30 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #567615 писал(а):
apriv
Да не нужны никакие обобщения пока. Стоит узкая задача -- исходя из имеющихся рац. чисел, построить систему действительных чисел, удовлетворяющую определенному набору аксиом.

Я все-таки думаю, что эта задача стоит в контексте изучения матанализа в целом. Это как старое противопоставление: нацеленность на решение конкретных задач хоть какими-нибудь методами vs. развитие теории, в рамках которой эти конкретные задачи станут очевидными.

-- 05.05.2012, 16:39 --

Padawan в сообщении #567615 писал(а):
и увидите, какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна,

Серьезно? Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Пусть $|a_i|, |b_i|<2^k$, тогда $|a_ib_i-a_jb_j|\leq |a_i-a_j||b_i|+|a_j||b_i-b_j|<2^k(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|)$. Начиная с некоторого места $|a_i-a_j|<1/2^{k+m+1}$ и $|b_i-b_j|<1/2^{k+m+1}$, поэтому $|a_ib_i-a_jb_j|<1/2^m$. Про сумму фундаментальных — еще проще. Про корректность определения операций ничего не нужно проверять, это уже проверили там, где определяли фактор-кольца; нужно лишь проверить, что исчезающие последовательности образуют идеал в кольце фундаментальных последовательностей. Вот и получается конструкция пополнения произвольного нормированного поля. Ну и небольшая модификация этой конструкции заодно даст поле гипервещественных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 15:48 


05/09/11
364
Петербург
Padawan в сообщении #567615 писал(а):
какая это тягомотина, проверять, что произведение фундаментальных последовательностей фундаментальна


Это тягомотина примерно настолько же, насколько тягомотина доказывать, что произведение сходящихся последовательностей сходится, а делать это всё равно придётся.

apriv в сообщении #567624 писал(а):
нужно лишь проверить, что исчезающие последовательности образуют идеал в кольце фундаментальных последовательностей. Вот и получается конструкция пополнения произвольного нормированного поля. Ну и небольшая модификация этой конструкции заодно даст поле гипервещественных чисел.

Я вот про это не знаю, но операции установить всё равно как-то могу. Например, суммой фундаментальных последовательностей $u_n$ и $v_n$ называется фундаментальная (пусть мы уже доказали, что она фундаментальна) последовательность $u_n+v_n$. Фундаментальные последовательности эквивалентны, если их разность сходится к нулю. Осталось доказать, что если $a_n \sim b_n, c_n \sim d_n$, то $(a_n + c_n) \sim (b_n+d_n).$ $\forall \frac{e}{2}>0,  \exists N_1:  \forall n>N_1 |a_n -b_n|< \frac{e}{2}.\forall \frac{e}{2}>0,  \exists N_2:  \forall n>N_2 |c_n -d_n|< \frac{e}{2}. N= \max(N_1, N_2).  \forall n>N: (a_n+c_n)-(b_n+d_n) = (a_n-b_n) +(c_n-d_n) <e.$
Далее устанавливаем изоморфизм между классами фундаментальными последовательностей, сходящихся к рациональным числам и рациональными числами. И доказываем, что существует поле, являющееся расширением поля рациональных чисел, изоморфное полю классов фундаментальных последовательностей. Это расширение называем полем вещественных чисел. Если кто-нибудь хочет, напишу доказательство .

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 16:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Doil-byle
Я хочу :) А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 17:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #567602 писал(а):
Хотя способ через фундаментальные последовательности более естественный, не спорю. Но еще более естественный способ -- через бесконечные десятичные дроби (способ Вейерштрасса).

Это разные естественности. Способ Кантора -- наиболее универсальный и наиболее идейный. Способ, приписываемый Вейерштрассу -- наиболее прикладной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 17:45 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Padawan в сообщении #567648 писал(а):
А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

Это все уже не один раз расписано в учебниках по анализу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 17:53 


05/09/11
364
Петербург
Padawan
Обозначим $\tilde{R}$ поле классов фундаментальных последовательностей р. чисел. $\tilde{Q}$ - п.к.ф.п.р.ч., сходящихся к рациональным числам.
Очевидно(после того, как мы доказали теоремы о сумме, произведении, делении и эквивалентности фундаментальных последовательностей), что $\tilde{Q} \simeq Q$ . Далее, просто-напросто запихиваем $Q$ в $\tilde{R}$ вместо $\tilde{Q}$, сохраняя алгебраические операции и получаем расширение $Q$. Или Вам нужно строже? :D Изоморфизм-то тривиальный.
Padawan в сообщении #567648 писал(а):
А лучше заведите тему в "Вопросах преподавания" и честно распишите весь процесс построения действительных чисел при помощи фундаментальных последовательностей.

Завести тему и назвать её: "Что такое вещественное число?" :-)
Если серьёзно, то это уж слишком. Я в техе медленно пишу, постоянно смотрю коды значков, так что у меня на это дело уйдёт уйма времени. Да и учебники же есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 17:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv
Дайте ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 17:54 
Заслуженный участник


08/01/12
915
ewert в сообщении #567658 писал(а):
Это разные естественности. Способ Кантора -- наиболее универсальный и наиболее идейный. Способ, приписываемый Вейерштрассу -- наиболее прикладной.

Замечу, что все эти способы построения никакого отношения к анализу не имеют. Самое естественное определение вещественных чисел такое — это полное архимедово линейно упорядоченное поле. Это определение ничуть не хуже определения натуральных чисел аксиомами Дедекинда—Пеано. При желании можно вывести существование такого поля из каких-нибудь других аксиом (например, из аксиом теории множеств, или из еще каких-нибудь), но это никак не влияет на исследование свойств такого поля и на весь матанализ, который на основе этих аксиом строится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 18:05 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
apriv в сообщении #567671 писал(а):
При желании можно вывести существование такого поля из каких-нибудь других аксиом (например, из аксиом теории множеств, или из еще каких-нибудь)

Интересно посмотреть на подобный вывод (что существует полное архимедово упорядоченное поле), не использующий явного построения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лучший учебник по математическому анализу [литература]
Сообщение05.05.2012, 18:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
apriv в сообщении #567671 писал(а):
Самое естественное определение вещественных чисел такое — это полное архимедово линейно упорядоченное поле.

Нет, оно как раз самое неестественное. Т.е. никак не диктуемое практикой. Канторово -- диктуется, вейерштрассовское -- диктуется, даже дедекиндово хоть чем-то, да стимулировано. Аксиоматическое же не стимулировано ничем, кроме перечисленных (и, может, каких других) конструктивных попыток -- и в этом смысле практически незначимо.

-- Сб май 05, 2012 19:07:58 --

Padawan в сообщении #567676 писал(а):
Интересно посмотреть на подобный вывод (что существует полное архимоедово упорядоченное поле), не использующий явного построения.

Ну вывод-то, может, и возможен. Но важнее другое: а кому он (сам по себе) нужен?...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 146 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group