Метод Лагранжа приведения кв. формы к каноническому виду

[arseniiv]

Прошу, опишите мне его. А то негде взять. Так, как он выглядит на практике. Спасибо, если кто-нибудь поможет с таким странным вопросом.

(Можно начать с того, что есть матрица $A$ этой формы в некотором базисе $(\mathbf{e}_i)$, а матрица её в каноническом базисе будет $A'$. Не знаю даже, получается ли канонический базис в результате метода, или его надо искать отдельно. Думаю, матрица перехода $P$ всё же как "побочный продукт" получиться должна. Но лучше вы используйте свои обозначения, а то, пиша на слух, трудно понять какие буквы обычно используются какого регистра, с какими штрихами и т. п..)

[Полосин]

Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например:
$x^2+4xy+2xz+y^2-2yz+z^2=$
(собираем все слагаемые с $x$)
$=(x+2y+z)^2-4y^2-4yz-z^2+y^2-2yz+z^2=$
(обозначаем $x'=x+2y+z$)
$=x'^2-3y^2-6yz=x'^2-3(y+z)^2+3z^2=x'^2-3y'^2+3z^2$.
Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа $x'=x-y$, $y'=x+y$, чтобы квадрат появился.

[arseniiv]

Хм. Странно. У нас как-то сложнее было... А какие-нибудь вариации есть у метода (в сторону большей громоздкости)?

[Полосин]

Метод Лагранжа позволяет "дешево" определить тип квадратичной формы, т.е. ее ранг и индексы инерции. Однако, поскольку преобразования неортогональные, пространственные соотношения (расстояния, углы) искажаются. Если нужно, чтобы они сохранялись, то придется ограничиться ортогональными преобразованиями (т.н. метод вращений): искать собственные значения и собственные векторы, что гораздо более трудоемко.

[arseniiv]

Метод с ортогональными преобразованиями как раз я знаю. Просто описание метода Лагранжа, которое я слышал, показалось мне большим по объёму и сложности. Вдруг у нас в курсе описана какая-нибудь его модификация...