2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение13.11.2005, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
LynxGAV писал(а):
Ecли Вы не уверены, а я спрашиваю, то нужен кто-то третий. Может Someone поможет..

Это не отсебятина. Фактически от такого "определения" мы начали плясать в курсе "Относительности и космологии". Начали с тензоров в n-мерном пространстве, определенных на (дифференциальных) многообразиях.
Понятно, в одном курсе не вместить диф. геом., топологию, общую относительность, космологию и гравитацию и многое нам не досказали, но все же, что это такое. Пойду ругаться =)))


"Кто-нибудь" поможет... Вообще, $n$-мерным (топологическим) многообразием называется линейно связное топологическое пространство, каждая точка которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому шару пространства $\mathbb R^n$. Многообразие с краем определяется аналогично, но у части точек окрестность может быть гомеоморфна полушару (граница, отделяющая одну половину шара от другой, включается). Я дальше буду говорить о многообразии без края. Как модифицировать это для многообразия с краем - сообразите сами. Обычно также предполагается, что многообразие метризуемо и сепарабельно (последнее означает, что в многообразии существует счётное всюду плотное множество; я не помню, какое соотношение между метризуемостью и сепарабельностью для топологических многообразий). Однако существуют несепарабельные и неметризуемые топологические многообразия.

Пусть $M$ - $n$-мерное многообразие. Открытое множество $U\subseteq M$ вместе с гомеоморфизмом $\varphi_U\colon U\to B_U$ на шар $B_U\subseteq R^n$ называется картой. Поскольку в $\mathbb R^n$ есть координаты, гомеоморфизм $\varphi_U$ позволяет перенести эти координаты в множество $U$. Набор карт, покрывающий всё многообразие, называется атласом.

Пусть есть две карты $(U,\varphi_U\colon U\to B_U)$ и $(V,\varphi_V\colon V\to B_V)$, и пусть $W=U\cap V\ne\Lambda$. Тогда $U_{\varphi}=\varphi_U W$ и $V_{\varphi}=\varphi_V W$ есть открытые подмножества пространства $\mathbb R^n$, и можно определить гомеоморфизм $\psi_{UV}\colon U_{\varphi}\to V_{\varphi}$ формулой $\psi_{UV}\vec x=\varphi_V\varphi_U^{-1}\vec x$ для всех $\vec x\in U_{\varphi}$. Заметим, что $\psi_{UV}$ и $\psi_{VU}$ - взаимно обратные гомеоморфизмы. Эти гомеоморфизмы определяют пересчёт координат от одной карты к другой (на их общей части).

Если у нас есть атлас, то такие гомеоморфизмы определены для всех пар карт с непустыми пересечениями. Для топологического многообразия никакой гладкости этих гомеоморфизмов не предполагается. Если все переходные гомеоморфизмы $m$ раз дифференцируемы, то многообразие называется $m$ раз дифференцируемым.

В разной литературе могут быть всякие нюансы в определениях, но смысл в этом. Кроме того, с многообразиями связано большое число всяких понятий. Читайте литературу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2005, 02:11 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
To dm.

Спасибо, конечно, за ссылки, но я до того, как задать вопрос, сама консультировалась у "Э. Вейштейна". А в Википедии есть "Словарь терминов общей топологии".

To Someone.

У Вас дар к преподаванию. Большое спасибо. Но не все так печально и врать я не буду, карты и атласы нам давали. И все было бы не так плохо, если бы с общего формализма мы резко не перескочили на вот то "определение", дабы не усложнять задачу. Обычный тензорный анализ. Но я честно верила, что большего нам не надо.

Топология встречалась в частности в релятивистской космологии, например, при рассмотрении геометрии трехмерного пространства постоянной кривизны. Там и подавно не надо было особого ума иметь, чтобы представить цилиндрическую топологию простанства-времени $\mathbb{R}\times{S}^3$ (где $\mathbb{R}$ представляет одномерное космическое время; случай k=+1). Как и то, что радиальные геодезические линии замыкаются.

Цитата:
В разной литературе могут быть всякие нюансы в определениях, но смысл в этом. Кроме того, с многообразиями связано большое число всяких понятий. Читайте литературу.


Cразу чувствуется тон :) преподавателя.

Когда же мне захотелось больше "почитать" по топологии, в библиотеке я обнаружила два огромных стеллажа с "монографо-учебниками" (диф. геом., топология, гравитация,...все в куче). И подумала, что высказались по этому поводу все кому не лень... И если "в средине" книги я находила то, что мне "подходило" для подготовки к предмету, то была непринятна терминология. А как-то читать еще две главы, чтобы разобраться что к чему, не было времени. Или переводить это все на тот язык, которым нам объясняли. Причем система обозначений менялась от книги к книге...

И к счастью или несчастью, сейчас меня топология никаким боком не касается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение14.11.2005, 17:19 
Someone писал(а):
Freez[e] писал(а):
Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории :)


1) Прежде всего, я нигде не говорил, что все точки $x$ и $y$ удовлетворяют этому неравенству. Я говорил об объединении интервалов, все точки которых удовлетворяют этому неравенству. Такие интервалы существуют всегда, когда функция имеет точки непрерывности. Если $x_0\in\mathbb{R}$ - точка непрерывности функции $f(x)$, то, по определению, для любого $n\in\mathbb{N}$ существует такое число $\delta>0$, что для всех $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}$. Тогда для любых x,y\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ получаем
$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-f(y)|$$
$$\leqslant|f(x)-f(x_0)|+|f(y)-f(x_0)|<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}$$,
откуда следует, что интервал $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ содержится в нашем множестве $U_n$ вместе с точкой непрерывности $x_0$. Так как мы предположили, что функция $f(x)$ непрерывна во всех рациональных точках, отсюда следует, что открытое (как объединение интервалов) множество $U_n$ содержит все рациональные точки и, следовательно, всюду плотно на числовой прямой, а его дополнение $F_n=\mathbb{R}\setminus U_n$ замкнуто и нигде не плотно.

2) Пусть нам задана последовательность нигде не плотных множеств $F_n\subseteq\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Нужно доказать, что множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$. Напротив, заранее будем предполагать, что множество рациональных чисел содержится в этом объединении. Если это вдруг не так, то перечислим все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$ (надеюсь, Вы знаете, как это сделать) и заменим каждое из множеств $F_n$ множеством $F_n\cup\{r_n\}$; при этом все наши множества останутся нигде не плотными.
Так как множество $F_1$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_1-a_1\leqslant 1$.
Предположим, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ уже построен отрезок $[a_n,b_n]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_n$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Так как множество $F_{n+1}\cap(a_n,b_n)$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]\setminus F_{n+1}$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{1}{n+1}$, и мы можем продолжать построение неограниченно.
Кроме перечисленных свойств, наше построение обеспечивает выполнение условия
$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq[a_3,b_3]\supseteq\ldots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\ldots$.
По теореме о стягивающейся последовательности отрезков (надеюсь, Вы её помните), существует единственная точка $q_0\in\mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb{N}$. Точка $q_0$, по построению, не принадлежит $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, в частности, не является рациональным числом.
Таким образом, множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, следовательно, не является множеством первой категории.


Как я понял второй пункт доказывается методом мат. индукции верно?
И вообще обясните что мы сдесь доказываем.

  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 19:14 
А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно! :lol: :lol: :lol:

меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно. :) :) :)

  
                  
 
 Re: Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение14.11.2005, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anonymous писал(а):
Someone писал(а):
Freez[e] писал(а):
Коротко но есть непонятные моменты...
разъясните неродивому перваку
1) почему все точки х и у должны удовлетворять |f(x)-f(y)|<1/n ??
2) если можно дайте док-во для иррациональных чисел, сто они не образуют множества перыой категории :)


1) ...
2) ...


Как я понял второй пункт доказывается методом мат. индукции верно?
И вообще обясните что мы сдесь доказываем.


Как это - что? Что спрашивали. В первом пункте разъясняется, что вовсе не все точки $x$, $y$ удовлетворяют данному неравенству, а только точки, принадлежащие некоторым интервалам. Причём, если функция непрерывна в некоторой точке, то обязательно найдётся такой интервал, содержащий эту точку. А во втором - что множество иррациональных точек числовой прямой не является множеством первой категории, то есть, не является объединением счётного семейства нигде не плотных множеств. Здесь с помощью индукции определяются отрезки $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb N$. То есть, здесь не доказательство по индукции, а построение по индукции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anonymous писал(а):
А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно! :lol: :lol: :lol:


По определению.

Anonymous писал(а):
меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно. :) :) :)


А это просто неверно, так что и доказывать нечего. Пример - множество рациональных чисел на числовой прямой всюду плотно, а его дополнение - множество иррациональных чисел - тоже всюду плотно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 20:28 
Someone писал(а):
Anonymous писал(а):
А как доказать что если множество открыто и всюду плотно то его дополнение замкнуто и нигде не плотно! :lol: :lol: :lol:


По определению.

Anonymous писал(а):
меня интересует доказательство доказательство что если множество всюду плотно то его дополнение нигде не плотно. :) :) :)


А это просто неверно, так что и доказывать нечего. Пример - множество рациональных чисел на числовой прямой всюду плотно, а его дополнение - множество иррациональных чисел - тоже всюду плотно.


А как это по определинию? Разве есть такое определение? Ну-ка расскажи а... :shock: :shock: :shock:

  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 20:34 
А когда мы доказывали что множество иррациональных точек не явл. множ. первой по Бэру категории, сначала писали (Напротив заранее будем предпологать, что множество рац. чисел сод. в этом множ...)! дак вот можно это не писать? Или это объязательно?

А можно этот пункт по-подробней написать? Пожалуйста!!!!!!!!!!
За ранее длагодарен!!! :) :) :)

  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 20:38 
А можно данную задачку по другому доказать, или это единственное докозательство?
Если можно то пожалуйста напишите как. :D :D :D

  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anonymous писал(а):
А как это по определинию? Разве есть такое определение? Ну-ка расскажи а... :shock: :shock: :shock:


Рассказывал уже. И литературу указывал. Так что читайте и думайте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2005, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Anonymous писал(а):
А когда мы доказывали что множество иррациональных точек не явл. множ. первой по Бэру категории, сначала писали (Напротив заранее будем предпологать, что множество рац. чисел сод. в этом множ...)! дак вот можно это не писать? Или это объязательно?

А можно этот пункт по-подробней написать? Пожалуйста!!!!!!!!!!
За ранее длагодарен!!! :) :) :)


Нам же нужно найти ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число, не содержащееся в $\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n$. Простейший способ обеспечить, чтобы $q_0\in\bigcap_{n\in\mathbb N}[a_n,b_n]$ было иррациональным, состоит в том, чтобы заранее исключить все рациональные числа, присоединив их к $\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение15.11.2005, 20:55 
Someone писал(а):
2) Пусть нам задана последовательность нигде не плотных множеств $F_n\subseteq\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Нужно доказать, что множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$. Напротив, заранее будем предполагать, что множество рациональных чисел содержится в этом объединении. Если это вдруг не так, то перечислим все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$ (надеюсь, Вы знаете, как это сделать) и заменим каждое из множеств $F_n$ множеством $F_n\cup\{r_n\}$; при этом все наши множества останутся нигде не плотными.
Так как множество $F_1$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_1-a_1\leqslant 1$.
Предположим, что для некоторого $n\in\mathbb{N}$ уже построен отрезок $[a_n,b_n]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_n$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{n}$.
Так как множество $F_{n+1}\cap(a_n,b_n)$ нигде не плотно, существует отрезок $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]\setminus F_{n+1}$, длина которого удовлетворяет неравенству $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{1}{n+1}$, и мы можем продолжать построение неограниченно.
Кроме перечисленных свойств, наше построение обеспечивает выполнение условия
$$[a_1,b_1]\supseteq[a_2,b_2]\supseteq[a_3,b_3]\supseteq\ldots\supseteq[a_n,b_n]\supseteq\ldots$.
По теореме о стягивающейся последовательности отрезков (надеюсь, Вы её помните), существует единственная точка $q_0\in\mathbb{R}$, принадлежащая всем отрезкам $[a_n,b_n]$, $n\in\mathbb{N}$. Точка $q_0$, по построению, не принадлежит $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, в частности, не является рациональным числом.
Таким образом, множество иррациональных чисел не содержится в $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}F_n$ и, следовательно, не является множеством первой категории.


1. Объясните пожалуйста, откуда взелись отрезки $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$? Это следует из определения нигде не плотного множества?

2. И как перечислить все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$? Я не знаю!

  
                  
 
 Re: Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение15.11.2005, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Chuvak писал(а):
1. Объясните пожалуйста, откуда взелись отрезки $[a_1,b_1]\subseteq\mathbb{R}\setminus F_1$? Это следует из определения нигде не плотного множества?


Определение. Множество $M\subseteq\mathbb R$ называется нигде не плотным в $\mathbb R$, если для каждого интервала $(a,b)\subseteq\mathbb R$ существует интервал $(\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\setminus M$.

Теперь поступаем так. Берём, например, интервал $(0,1)$. Поскольку множество $F_1$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_1,\beta_1)\subseteq(0,1)\setminus F_1$. Положим $a_1=\alpha_1+\frac{\beta_1-\alpha_1}{3}$ и $b_1=a_1+\min\{\frac{\beta_1-\alpha_1}{3},1\}$.

Поскольку множество $F_2$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_2,\beta_2)\subseteq(a_1,b_1)\setminus F_2$. Положим $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$.

И так далее. Кстати, здесь все эти "$\min$" лишние, поскольку при таком способе построения $0<b_1-a_1\leqslant\frac{1}{3}$ и $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{b_n-a_n}{3}$, поэтому $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{3^n}$

Chuvak писал(а):
2. И как перечислить все рациональные числа в виде последовательности $\{r_n:n\in\mathbb{N}\}$? Я не знаю!


Каждое рациональное число $r$ можно единственным способом записать в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$ (если $r\geqslant 0$) или $-\frac{m}{n}$ (если $r<0$), где $m\geqslant 0$ и $n>0$ - целые числа. Назовём высотой рационального числа $r=\pm\frac{m}{n}$ сумму $h(r)=m+n$.
Заметим, что для каждого целого $h\geqslant 1$ существует лишь конечное число рациональных чисел высоты $h$:
$h=1$: $\frac{0}{1}$;
$h=2$: $-\frac{1}{1}$, $\frac{1}{1}$;
$h=3$: $-\frac{2}{1}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{1}$;
$h=4$: $-\frac{3}{1}$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{1}$;
для $h=5$ будет 8 чисел, для $h=6$ - 4 числа, и так далее.

Теперь перечисляем рациональные числа в том порядке, как они выписаны выше: в порядке возрастания высоты, а при одинаковой высоте - в порядке возрастания их самих.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2005, 07:31 
А можно данную задачку по другому докoзать, или это единственное докозательство?
Если можно то пожалуйста напишите как.

  
                  
 
 Re: Функция Римана: "обратные" свойства.
Сообщение16.11.2005, 07:42 
Someone писал(а):
Определение. Множество $M\subseteq\mathbb R$ называется нигде не плотным в $\mathbb R$, если для каждого интервала $(a,b)\subseteq\mathbb R$ существует интервал $(\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\setminus M$.

Теперь поступаем так. Берём, например, интервал $(0,1)$. Поскольку множество $F_1$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_1,\beta_1)\subseteq(0,1)\setminus F_1$. Положим $a_1=\alpha_1+\frac{\beta_1-\alpha_1}{3}$ и $b_1=a_1+\min\{\frac{\beta_1-\alpha_1}{3},1\}$.

Поскольку множество $F_2$ нигде не плотно, существует интервал $(\alpha_2,\beta_2)\subseteq(a_1,b_1)\setminus F_2$. Положим $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$.

И так далее. Кстати, здесь все эти "$\min$" лишние, поскольку при таком способе построения $0<b_1-a_1\leqslant\frac{1}{3}$ и $0<b_{n+1}-a_{n+1}\leqslant\frac{b_n-a_n}{3}$, поэтому $0<b_n-a_n\leqslant\frac{1}{3^n}$


За объяснение конечно же БОЛЬШОЕ СПАСИБО, но нельзя ли чуточку по подробнее написать. Я нефига не понял причём сдесь $a_2=\alpha_2+\frac{\beta_2-\alpha_2}{3}$ и $b_2=a_2+\min\{\frac{\beta_2-\alpha_2}{3},\frac{1}{2}\}$! Я спрашивал про отрезки $[a1,b1], [a2,d2]$

  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group