Помогите вычислить интеграл, зависящий от параметра

[travko]

Применяя интегрирование или дифференцирование по параметру вычислить
$J(p)=\int_{0}^{1} \frac{\ln{(1-x^p)}}{x}dx,\quad (p>0).$

Пробовал дифференцировать в лоб, получается
$J'(p)=\int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}\ln{(x)}}{x^p-1}dx$
$J''(p)=\int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}\ln{(x)}^2}{(x^p-1)^2}dx$
$J'''(p)=\int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}\ln{(x)}^3 (x^p+1)}{(x^p-1)^3}dx$
т.е. многократное дифференцирование не даст результата. Как то решить $J'(p)$ тоже затрудняюсь.

Далее попробовал применить интегрирование: представляя подынтегральную функцию как
$\frac{\ln{(1-x^t)}}{x}|_{0}^{p}$, тогда получается
$\int_{0}^{p} \int_{0}^{1} \frac{x^{t-1}\ln{x}}{x^t-1} dx dt$ - проще не стало.

Далее рассматривал разные замены, но они приводили к интегралам, в которых интегрирование или дифференцирование только ухудшали ситуацию, иногда удавалось свести к интегрированию по частям, но в подстановке постоянно получалась бесконечность. Так же пробовал вводить дополнительный параметр, затем дифференцировать по нему, далее получалась рекуррентная формула, но при решении дифференциального уравнения получался ноль. В общем я иссяк, укажите направление в котором двигаться.

[VPro]

Сделайте замену $y=x^p$

[morozen]

На сколько я поняла "р" от "х" не зависит,поэтому можно просто разложить логарифм в ряд...а дальше вроде как просто получается.

[travko]

morozen в сообщении #320551 писал(а):

На сколько я поняла "р" от "х" не зависит,поэтому можно просто разложить логарифм в ряд...а дальше вроде как просто получается.

p - некоторое число. В ряд конечно хочется, но тогда где тут применишь теорему о дифференцировании.

[morozen]

невнимательно прочитала задачу.Но так тогда хотябы будешь знать точный ответ...

[MTV]

Лучше конечно сделать $y = 1-x^p$, ну а затем подынтегральную функцию можно домножить на $y^\alpha$, откуда интеграл будете искать при $\alpha=0$. Интегрируя по $\alpha$ (тем самым избавитесь от логарифма) интеграл сведете к бета-функции.

[travko]

VPro в сообщении #320547 писал(а):

Сделайте замену $y=x^p$

Сделаем замену $y=x^p$, тогда $x=y^{\frac{1}{p}}, \quad dy=px^{p-1}dx, \quad dx = \frac{dy}{py^{1-\frac{1}{p}}}$, в таком случаи интеграл перепишется
$\int_{0}^{1} \frac{\log(1-y)}{p y^{\frac{1}{p}} y^{1-\frac{1}{p}}}dy=\int_{0}^{1}\frac{\log{(1-y)}}{p y}dy$
Далее дифференцируем по p
$J'(p)=-\int_{0}^{1} \frac{\log{(1-y)}}{p^2 y}dy=-pJ(p)$
Получаем дифуру, решение которой $J=Ce^{-\frac{p^2}{2}}$, а как далее найти константу? Подставить p=0 в исходный интеграл нельзя, так по условию p>0, а при p=1, интеграл надо видимо брать по частям, но тогда при подстановке $uv|_{0}^{1}$ получится бесконечность.

[MTV]

travko в сообщении #320576 писал(а):

при подстановке $uv|_{0}^{1}$ получится бесконечность.

если там получается бесконечность, то поди ка и второй интеграл (после взятия по частям) расходится. с бета функцией должно получиться весьма изящно

[travko]

Ошибся выше, $J'=\frac{1}{p}J$, но проблему с константой это не устраняет.

[MTV]

$I = \int\limits_0^1 \frac{\ln(1-y)}{y}dy$.
После замены $y = 1-t$:
$I = \int\limits_0^1 \frac{\ln t}{1-t}dt$
Обозначим этот интеграл как
$K'(\alpha) = \int\limits_0^1 \frac{t^{\alpha} \ln t}{1-t}dt$
Тогда
$K(\alpha) = \int\limits_0^1 \frac{t^{\alpha}}{1-t}dt = \int\limits_0^1 t^{\alpha}(1-t)^{-1}\,dt$ = ...
Подозреваю я, что ваш интеграл расходится.

[VPro]

travko в сообщении #320587 писал(а):

Ошибся выше, $J'=\frac{1}{p}J$, но проблему с константой это не устраняет.

Проблема с константой решается просто. Вычисляем интеграл при некотором фиксированном $p$ (например $p=1$) , а потом используем это значение, как начальные условия в дифференциальном уравнении.

[travko]

VPro в сообщении #320603 писал(а):

travko в сообщении #320587 писал(а):

Ошибся выше, $J'=\frac{1}{p}J$, но проблему с константой это не устраняет.

Проблема с константой решается просто. Вычисляем интеграл при некотором фиксированном $p$ (например $p=1$) , а потом используем это значение, как начальные условия в дифференциальном уравнении.

При p=1 интеграл перепишется в $\int_{0}^{1}\frac{\ln{(1-x)}}{x}dx$, если брать его по частям, то всё будет плохо, а другого способа взять я не вижу.

[VPro]

travko в сообщении #320610 писал(а):

При p=1 интеграл перепишется в $\int_{0}^{1}\frac{\ln{(1-x)}}{x}dx$, если брать его по частям, то всё будет плохо, а другого способа взять я не вижу.

Мы пока не затрагивали такую деликатную тему как сходимость этого интеграла. А он, судя по всему, с этими пределами расходится при любом $p>0$. Так что и вычислять здесь нечего.

[Полосин]

$ pI=\int\limits_0^1\dfrac{\ln t\,dt}{1-t}=-J'(0)/2, $
$ J(q)=\int\limits_0^1\dfrac{t^{-q}-t^q}{1-t}dt=\lim\limits_{\varepsilon\to+0}J_{\varepsilon}(q), $
$ J_{\varepsilon}(q)=B(\varepsilon,1-q)-B(\varepsilon,1+q)= \Gamma(\varepsilon)\dfrac{\Gamma(1-q)\Gamma(1+q+\varepsilon)-\Gamma(1+q)\Gamma(1-q+\varepsilon)}{\Gamma(1-q+\varepsilon)\Gamma(1+q+\varepsilon)}, $
$ J(q)=\dfrac{d}{dq}\ln(\Gamma(1-q)\Gamma(1+q))=\dfrac{d}{dq}\ln\dfrac{\pi q}{\sin(\pi q)}, $
$ I=-\dfrac{\pi^2}{6p}. $

[travko]

Полосин в сообщении #320800 писал(а):

$ pI=\int\limits_0^1\dfrac{\ln t\,dt}{1-t}=-J'(0)/2, $
$ J(q)=\int\limits_0^1\dfrac{t^{-q}-t^q}{1-t}dt=\lim\limits_{\varepsilon\to+0}J_{\varepsilon}(q), $
$ J_{\varepsilon}(q)=B(\varepsilon,1-q)-B(\varepsilon,1+q)= \Gamma(\varepsilon)\dfrac{\Gamma(1-q)\Gamma(1+q+\varepsilon)-\Gamma(1+q)\Gamma(1-q+\varepsilon)}{\Gamma(1-q+\varepsilon)\Gamma(1+q+\varepsilon)}, $
$ J(q)=\dfrac{d}{dq}\ln(\Gamma(1-q)\Gamma(1+q))=\dfrac{d}{dq}\ln\dfrac{\pi q}{\sin(\pi q)}, $
$ I=-\dfrac{\pi^2}{6p}. $

Большое спасибо, однако не понятен переход от третьей строки к четвертой