2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение06.07.2006, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Периметр эллипса с главной осью $a$ и эксцентриситетом $\varepsilon$ равен $4aE(\varepsilon)$. Здесь
$$E(\varepsilon)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2\varphi}\;d\varphi$$
полный эллиптический интеграл 2-го рода. Этот интеграл не выражается в элеметарных функциях. Именно ввиду указанной связи с длиной дуги эллипса, этот интеграл был назван эллиптическим. Функция $E(\varepsilon)$ строго убывает на отрезке $[0,1]$, при этом $E(0)=\pi/2$ и $E(1) = 0$. Больше об эллиптических интегралах можно узнать здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2006, 14:48 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
lofar писал(а):
Периметр эллипса с главной осью $a$ и эксцентриситетом $\varepsilon$ равен $4aE(\varepsilon)$. Здесь
$$E(\varepsilon)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2\varphi}\;d\varphi$$
полный эллиптический интеграл 2-го рода. Этот интеграл не выражается в элеметарных функциях. Именно ввиду указанной связи с длиной дуги эллипса, этот интеграл был назван эллиптическим. Функция $E(\varepsilon)$ строго убывает на отрезке $[0,1]$, при этом $E(0)=\pi/2$ и $E(1) = 0$. Больше об эллиптических интегралах можно узнать здесь.


Хорошо, но ведь это справедливо только на евклидовой плоскости. Ну а в общем случае что играет роль эллиптического интеграла?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2006, 18:32 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Пусть мы дали интервальную оценку массы некоторого объекта: 100-200 млн т. В качестве модели этой оценки возьмем эллипс с расстоянием между фокусами 100 млн т и большой осью 200 млн т. Спрашивается, чему в этой модели соответствует длина эллипса (тоже в млн т)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2006, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Простите, не могу понять Ваших примеров.

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb R^2$. Верно ли я понимаю, что Вас интересуют разные способы введения понятия длины в $\mathbb R^2$? Если так, то надо определиться, что вы желаете от "длины". Какими свойствами она должна обладать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.07.2006, 21:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Собственно, мне не совсем понятно даже пространство, в котором желаем работать (еще до метрики). Если $\mathbb R^2$ (раз эллипс), то две оси. Что по ним отложено? В исходной постановке я вижу только некоторую "массу", второй оси не введено. А если так, то оценки - это интервалы и эллипсу взяться неоткуда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2006, 14:21 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
PAV писал(а):
Собственно, мне не совсем понятно даже пространство, в котором желаем работать (еще до метрики). Если $\mathbb R^2$ (раз эллипс), то две оси. Что по ним отложено? В исходной постановке я вижу только некоторую "массу", второй оси не введено. А если так, то оценки - это интервалы и эллипсу взяться неоткуда.


У меня есть интервал 100-200 мегатонн. Один его конец я считаю одной осью эллипса. А другой его конец я считаю расстоянием между фокусами эллипса, но ничто не мешает нам считать этот конец второй осью эллипса. Получим две оси, обе в мегатоннах. Вопрос остается: как интерпретировать длину этого эллипса (в мегатоннах)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.07.2006, 14:27 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
lofar писал(а):
Простите, не могу понять Ваших примеров.

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb R^2$. Верно ли я понимаю, что Вас интересуют разные способы введения понятия длины в $\mathbb R^2$? Если так, то надо определиться, что вы желаете от "длины". Какими свойствами она должна обладать?


Я никак не уразумею, куда девается физическая размерность. Если мы зададим метрику с помощью функционала Минковского, как Вы предлагали, то физической размерности у расстояния не будет: это будет просто число $\lambda$, даже если по осям $\mathbb R^2$ мы откладывали физически размерные числа, например мегатонны. А куда денутся эти самые мегатонны?

И мне бы хотелось определить $\pi$, так сказать, в пространстве интервальных оценок.

 Профиль  
                  
 
 пи московское
Сообщение01.09.2006, 16:57 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Рассмотрим число $\pi$ и три его оценки, которые напрашиваются: $3\frac{1}{6}$, $3\frac{1}{7}$ и $3\frac{1}{8}$ - оценки сверху, посередине и снизу соответственно. Можно сказать, что приближение $3\frac{1}{6}$, известное еще древним египтянам, - это $\pi$ египетское, а $3\frac{1}{7}$, известное еще древним грекам, - это $\pi$ греческое. Тогда, спрашивается, $3\frac{1}{8}$ - это $\pi$ чье? Я предлагаю называть его - $\pi$ московское. Есть возражения?

Рассмотрим древнюю Московию в пределах Московской кольцевой автодороги, имеющей форму овала (эллипса, вытянутого почти по меридиану) длиной $P = 100$ верст и площадью $S = 800$ кв. верст. (Отметим на всякий случай, что сплюснутость эллипса равна 2/3 или, что практически то же самое, отношение его осей равно 3/4.) Полагая приближенно $S = (0.5 P)^2/\pi$, получаем как раз $\pi = 2500/800 = 3\frac{1}{8}$. Историческая величина московской версты может меняться, важнее, чтобы $\pi$ сохранялось. Нехорошо только, что запись $3\frac{1}{8} = 3.125$ состоит из чисел Фибоначчи...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2006, 10:38 
Аватара пользователя


24/08/06
57
Моск. обл.
Незадолго до этой темы, я создал тему в разделе юмор: "Круг или квадрат". Кратко напомню что там говорилось о преподавателе ведущем у нас функан. Он любил рисовать квадраты, говоря что он рисует окружности. При этом он пользовался метрикой d(x,y)=max|x,y|. Легко увидеть, что в этой метрике число пи равно 4-м. А вообще интересная тема, у меня сразу возникла идея подсчитать среднюю длину отрезка соединяющего центр квадрата с точкой обходящей квадрат по его сторонам. И потом подсчитать отношение диагонали квадрата с этой длиной. Такое своеобразное число пи для квадратов. Будет интересно, инвариантно ли оно относительно стороны квадрата или нет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2006, 13:23 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Как известно, $\pi^{1/2} = \Gamma(1/2)}$. Ну а еще есть такие $z$, что $\pi^{z} = \Gamma(z)}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.09.2006, 13:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Таких чисел счётное количество, так как первое выражение имеет период i2pi/ln(pi) и принимает все значения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group