Всегда ли пи = 3.14...?

[lofar]

Периметр эллипса с главной осью $a$ и эксцентриситетом $\varepsilon$ равен $4aE(\varepsilon)$. Здесь

$$E(\varepsilon)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2\varphi}\;d\varphi$$

полный эллиптический интеграл 2-го рода. Этот интеграл не выражается в элеметарных функциях. Именно ввиду указанной связи с длиной дуги эллипса, этот интеграл был назван эллиптическим. Функция $E(\varepsilon)$ строго убывает на отрезке $[0,1]$, при этом $E(0)=\pi/2$ и $E(1) = 0$. Больше об эллиптических интегралах можно узнать здесь.

[бобыль]

lofar писал(а):

Периметр эллипса с главной осью $a$ и эксцентриситетом $\varepsilon$ равен $4aE(\varepsilon)$. Здесь

$$E(\varepsilon)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2\varphi}\;d\varphi$$

полный эллиптический интеграл 2-го рода. Этот интеграл не выражается в элеметарных функциях. Именно ввиду указанной связи с длиной дуги эллипса, этот интеграл был назван эллиптическим. Функция $E(\varepsilon)$ строго убывает на отрезке $[0,1]$, при этом $E(0)=\pi/2$ и $E(1) = 0$. Больше об эллиптических интегралах можно узнать здесь.

Хорошо, но ведь это справедливо только на евклидовой плоскости. Ну а в общем случае что играет роль эллиптического интеграла?

[бобыль]

Пусть мы дали интервальную оценку массы некоторого объекта: 100-200 млн т. В качестве модели этой оценки возьмем эллипс с расстоянием между фокусами 100 млн т и большой осью 200 млн т. Спрашивается, чему в этой модели соответствует длина эллипса (тоже в млн т)?

[lofar]

Простите, не могу понять Ваших примеров.

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb R^2$. Верно ли я понимаю, что Вас интересуют разные способы введения понятия длины в $\mathbb R^2$? Если так, то надо определиться, что вы желаете от "длины". Какими свойствами она должна обладать?

[PAV]

Собственно, мне не совсем понятно даже пространство, в котором желаем работать (еще до метрики). Если $\mathbb R^2$ (раз эллипс), то две оси. Что по ним отложено? В исходной постановке я вижу только некоторую "массу", второй оси не введено. А если так, то оценки - это интервалы и эллипсу взяться неоткуда.

[бобыль]

PAV писал(а):

Собственно, мне не совсем понятно даже пространство, в котором желаем работать (еще до метрики). Если $\mathbb R^2$ (раз эллипс), то две оси. Что по ним отложено? В исходной постановке я вижу только некоторую "массу", второй оси не введено. А если так, то оценки - это интервалы и эллипсу взяться неоткуда.

У меня есть интервал 100-200 мегатонн. Один его конец я считаю одной осью эллипса. А другой его конец я считаю расстоянием между фокусами эллипса, но ничто не мешает нам считать этот конец второй осью эллипса. Получим две оси, обе в мегатоннах. Вопрос остается: как интерпретировать длину этого эллипса (в мегатоннах)?

[бобыль]

lofar писал(а):

Простите, не могу понять Ваших примеров.

Рассмотрим векторное пространство $\mathbb R^2$. Верно ли я понимаю, что Вас интересуют разные способы введения понятия длины в $\mathbb R^2$? Если так, то надо определиться, что вы желаете от "длины". Какими свойствами она должна обладать?

Я никак не уразумею, куда девается физическая размерность. Если мы зададим метрику с помощью функционала Минковского, как Вы предлагали, то физической размерности у расстояния не будет: это будет просто число $\lambda$, даже если по осям $\mathbb R^2$ мы откладывали физически размерные числа, например мегатонны. А куда денутся эти самые мегатонны?

И мне бы хотелось определить $\pi$, так сказать, в пространстве интервальных оценок.

[бобыль]

Рассмотрим число $\pi$ и три его оценки, которые напрашиваются: $3\frac{1}{6}$, $3\frac{1}{7}$ и $3\frac{1}{8}$ - оценки сверху, посередине и снизу соответственно. Можно сказать, что приближение $3\frac{1}{6}$, известное еще древним египтянам, - это $\pi$ египетское, а $3\frac{1}{7}$, известное еще древним грекам, - это $\pi$ греческое. Тогда, спрашивается, $3\frac{1}{8}$ - это $\pi$ чье? Я предлагаю называть его - $\pi$ московское. Есть возражения?

Рассмотрим древнюю Московию в пределах Московской кольцевой автодороги, имеющей форму овала (эллипса, вытянутого почти по меридиану) длиной $P = 100$ верст и площадью $S = 800$ кв. верст. (Отметим на всякий случай, что сплюснутость эллипса равна 2/3 или, что практически то же самое, отношение его осей равно 3/4.) Полагая приближенно $S = (0.5 P)^2/\pi$, получаем как раз $\pi = 2500/800 = 3\frac{1}{8}$. Историческая величина московской версты может меняться, важнее, чтобы $\pi$ сохранялось. Нехорошо только, что запись $3\frac{1}{8} = 3.125$ состоит из чисел Фибоначчи...

[XpeH]

Незадолго до этой темы, я создал тему в разделе юмор: "Круг или квадрат". Кратко напомню что там говорилось о преподавателе ведущем у нас функан. Он любил рисовать квадраты, говоря что он рисует окружности. При этом он пользовался метрикой d(x,y)=max|x,y|. Легко увидеть, что в этой метрике число пи равно 4-м. А вообще интересная тема, у меня сразу возникла идея подсчитать среднюю длину отрезка соединяющего центр квадрата с точкой обходящей квадрат по его сторонам. И потом подсчитать отношение диагонали квадрата с этой длиной. Такое своеобразное число пи для квадратов. Будет интересно, инвариантно ли оно относительно стороны квадрата или нет...

[бобыль]

Как известно, $\pi^{1/2} = \Gamma(1/2)}$. Ну а еще есть такие $z$, что $\pi^{z} = \Gamma(z)}$?

[Руст]

Таких чисел счётное количество, так как первое выражение имеет период i2pi/ln(pi) и принимает все значения.