2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определённый интеграл от ln(x)/[1+exp(x)] (0,infinity)
Сообщение02.07.2006, 12:05 


30/06/06
313
Как можно вычислить такой определенный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln{x}}{e^{x}+1}\,dx$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение02.07.2006, 17:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Imperator писал(а):
Как можно вычислить такой определенный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln{x}}{e^{x}+1}\,dx$?

:evil: Нужно попросить осла :P , чтобы скачал стандартный пакет :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2006, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Вообще-то, интеграл подобного рода из разряда неберущихся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2006, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Вообще-то, интеграл подобного рода из разряда неберущихся.

Вы, наверное, имели в виду неопределенный интеграл. Поскольку ответ -- $-\frac{(\ln 2)^2}{2}$ -- имеется. Осталось понять, как.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.07.2006, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Да, Вы правы, на пределы я не обратил внимания. Тогда найти обоснование результату Maple или Mathcad нелегко. Может как-то помогает такое разложение:
$ln(x)=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{x})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+..+\frac{1}{x^2})+\frac{1}{3}(\frac{1}{2^3}+ \frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+..+\frac{1}{x^3})+...$
Хотя сам серьезно об этом не думал...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А , может, перейти в комплексную плоскость и позвать вычеты?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 02:42 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Brukvalub писал(а):
А , может, перейти в комплексную плоскость и позвать вычеты?

:evil: Нет, достаточно позвать хороший толстый справочник с интегралами, а если его нету, то нужно применить интегрирование по частям и построить соответствующий числовой ряд, а потом смотреть что это за ряд...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 07:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Котофеич писал(а):
нужно применить интегрирование по частям

Интересно, а по каким частям? Что заносим по дифференциал?
  1. $1$
  2. $\ln x$
  3. $\frac{1}{{\rm e}^x+1}$
  4. другое?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Следуя советам Котофеича, нашел в справочнике:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{lnx}{e^x+a}dx=a^{-1}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{(-a)^k}{k}lnk)-Cln(1+a))$; $-1<a<=1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 12:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
незваный гость писал(а):
:evil:
Интересно, а по каким частям? Что заносим по дифференциал?


:evil: Под дифференциал очевидно нужно заносить xlnx-x. Это убивает особенность подинтегральной функции в нуле. В противном случае особенность будет разростаться. 8-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 12:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Следуя советам Котофеича, нашел в справочнике:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{lnx}{e^x+a}dx=a^{-1}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{(-a)^k}{k}lnk)-Cln(1+a))$; $-1<a<=1$

:evil: Да есть и такое разложение, но мое разложение сходится быстрее, хотя и
это разложение вполне пригодно для вычислений если а>0. Но не нужно надеяться на справочники,потому что нужные книги имеют свойство прятаться. :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
А Ваше разложение - это какое :shock: ? Если не затруднит - приведите его, пожалуйста. Мы поанализируем на предмет быстроты сходимости в заданном диапазоне для $a$. Или хотя бы идею подкиньте, что Вы там группируете. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 14:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Артамонов Ю.Н. писал(а):
А Ваше разложение - это какое :shock: ? Если не затруднит - приведите его, пожалуйста. Мы поанализируем на предмет быстроты сходимости в заданном диапазоне для $a$. Или хотя бы идею подкиньте, что Вы там группируете. :D

:evil: После интегрирования по частям у Вас будет интеграл от функции

${\frace({xlnx-x})e^x}/({e^x+a})^2$; далее выражение
${\frace(e^x)/({e^x+a})^2$; заменяется эквивалентным выражением ${\frace(e^(-x))/({ae^(-x)+1})^2$; которое разлагаем в ряд (прогрессия) по степеням exp(-x) Полученный после почленного умножения на функцию (xlnx-x) ряд, легко интегрируется почленно. Таким макаром должно получиться то что хотели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл.
Сообщение03.07.2006, 14:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Котофеич писал(а):
:evil: Нужно попросить осла :P , чтобы скачал стандартный пакет :roll:

Можно ничего не скачивать.
"Интегратор" пакета Mathematica свободно доступен в он-лайне по запоминающемуся адресу: integrals.com

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.07.2006, 15:05 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Ну, тогда можно свести к ряду

$$
\int_0^{\infty} \frac{\ln(x)}{e^x+1}dx= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\left(\frac{\ln n}{n}+\frac{\gamma}{n}\right) = -\frac{(\ln 2)^2}{2}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group