2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлен Гильберта (помогите решить)
Сообщение26.06.2006, 14:39 


21/06/06
21
Помогите, пожалуйста, решить следующую задачу.

Идеал I в кольце K[x,y,z]задан образующими xy, x^3, y^3, y^2z. Найти многочлен Гильберта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 19:17 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
А порядок на мономах какой?
Например, для общей степени и затем лексикографического порядка Maple дает такое:
Код:
> Groebner[HilbertPolynomial]([x*y,x^3,y^3,y^2*z],tdeg(x,y,z),n);
                               4

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Выбор порядка на мономах значения не имеет. Дело в том, что идеал $I$ мономиальный и его базис Гребнера один и то же при всех упорядочениях. Как указал maxal, полином Гильберта равен $4$. В этом нетрудно убедиться, вычислив в явном виде функцию Гильберта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2006, 16:23 


21/06/06
21
lofar, подскажите, пожалуйста, как это лучше сделать.

Я использовал алгоритм, изложенный в книге Е.В. Панкратьева "Компьютерная алгебра".

В итоге у меня получился такой многочлен Гильберта:

\omega(t) = C^{t+3}_3 - C^{t+1}_3 + 3C^{t-1}_3 - 3C^{t}_3
(запись, наверное, западная, у нас "t" внизу писались бы)

Думаю, это не то же самое, что у Вас.
Значит, я где-то напортачил.

Жду помощи!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2006, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Я не использовал общего алгоритма. Приведенный пример достаточно прост, можно применить грубую силу и выписать базис для каждой однородной компоненты факторалгбры:
$0\colon 1$
$1\colon x,y,z$
$2\colon x^2, y^2, z^2, yz, xz$
$3\colon x^2z, xz^2,yz^2,z^3$
$4\colon x^2z^2, xz^3,yz^3,z^4$
и.т.д
Видно, что функция Гильберта $H(n)$ постоянна и равна $4$ при $n\geqslant 3$. Значит многочлен Гильберта равен $4$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 11:46 


21/06/06
21
Спасибо!
Но понятно не всё.
Что и по чему нужно факторизовать для каждого n (не чувствую я этого)?
Можно на парочке примеров показать, как получились такие результаты (например, n=1, 4).
Почему ответ = 4 для n>2? А для <3 он какой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.06.2006, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Пусть $I$ --- однородный идеал в $k[X]=k[x_1,\ldots,x_k]$. Алгебра $k[X]$ градуированная:
$$
k[X] = A_0\oplus A_1\oplus A_2\oplus\ldots
$$
Здесь $A_d$ --- векторное подпространство в $k[X]$ натянутое на мономы степени $d$. Например, $A_2$ есть линейная оболчка $\{x_ix_j|1\leqslant i\leqslant j\leqslant k\}$.

Рассмотрим канонический эпиморфизм $\nu\colon k[X]\to k[X]/I$. Так как $I$ однородный, факторалгебра $k[X]/I$ наделяется естественной градуировкой:
$$
k[X]/I = \nu(A_0)\oplus \nu(A_1)\oplus \nu(A_2)\oplus\ldots
$$
Полезно самому проверить это равенство, убедиться в том, что эта сумма прямая, и что выполнено условие градуированности.

Функция Гильберта $H$ факторалгебры $k[X]/I$ определяется так: $H(d)=dim_k \vu(A_d)$ --- размерность $d$-й однородной компоненты. Имеем $\nu(A_d)=(A_d+I)/I\cong A_d/(A_d\cap I)$, поэтому $H(d)=dim_k [A_d/(A_d\cap I)]$. Многочленом Гильберта называется такой полином $G(x)\in\mathbb Q[x]$, что $H(d)=G(d)$ для всех достаточно больших $d$. В данном случае такой полином обязательно существует и единственен.

Теперь вернемся к вашему примеру и вычислим, скажем, $H(2)$. $A_2=span\{x^2,y^2,z^2,xy,xz,yz\}$. $A_d\cap I=span\{xy\}$ (именно в этом месте употреблена грубая сила). Значит $A_2/(A_2\cap I)$ имеет базис $\{x^2,y^2,z^2,xz,yz\}$ и следовательно $H(2)=5$. Рассуждая таким образом, получаем $H(0)=1$, $H(1)=3$, $H(2)=5$, и $H(3)=H(4)=\ldots=4$. Видно, что полином Гильберта $G(d)$ равен $4$ (он имеет нулевую степень).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group