2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение29.03.2010, 23:48 


28/03/10
62
age в сообщении #303379 писал(а):
6. Но число $x_0^n+y_0^n$ в свою очередь, представляет собой $(x_0+y_0)(2m_1n+1)$. Откуда
$(x_0+y_0)(2m_1n+1)=z_0(2m_2n+1)$, или
$x_0(2m_1n+1)+y_0(2m_1n+1)=z_0(2m_2n+1)$
где $2m_1n+1$ и $2m_2n+1$ - некоторые произведения простых чисел вида $2kn+1$.

7. Ввиду того, что п.5, п.6 справедливы и для чисел $x_0, y_0$, то проводя аналогичные рассуждения для данных чисел получим систему трех уравнений:
$\begin{cases}
x_0(2m_1n+1)+y_0(2m_1n+1)=z_0(2m_2n+1)\\
x_0(2m_3n+1)+y_0(2m_4n+1)=z_0(2m_3n+1)\\
x_0(2m_5n+1)+y_0(2m_6n+1)=z_0(2m_6n+1)
\end{cases}$
или
$\begin{cases}
x_0(2m_1n+1)+y_0(2m_1n+1)-z_0(2m_2n+1)=0\\
x_0(2m_3n+1)+y_0(2m_4n+1)-z_0(2m_3n+1)=0\\
x_0(2m_5n+1)+y_0(2m_6n+1)-z_0(2m_6n+1)=0
\end{cases}$

я так понимаю система должна выглядеть так:
$\begin{cases}
x_0(2m_1n+1)+y_0(2m_1n+1)=z_0(2m_2n+1)\\
x_0(2m_3n+1)+y_0(2m_4n+1)=z_0(2m_3n+1)\\
x_0(2m_6n+1)+y_0(2m_5n+1)=z_0(2m_5n+1)
\end{cases}$
то есть в виде матрицы
$\left(
\begin{array}{ccc}
c_1&c_1&c_2\\
c_3&c_4&c_3\\
c_6&c_5&c_5\\
\end{array}
\right)$
которе вполне может иметь бесконечное количество решения с нулевым свободным столбцом, в случае если определитель равен 0 (т. е. в случае вырожденной матрицы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение30.03.2010, 00:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
DiviSer
В смысле, когда все четыре определителя равны 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение30.03.2010, 00:22 


28/03/10
62
age в сообщении #304270 писал(а):
DiviSer
В смысле, когда все четыре определителя равны 0?

Да. В этом случае система имеет неограниченное количество решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение30.03.2010, 00:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
DiviSer
Например, система:
$\begin{cases}
x+y-2z=0\\ 
3x+4y-3z=0\\ 
5x+6y-7z=0
\end{cases}$
Имеет все 4 определителя, равные нулю.

В данном случае получаем решение:
$\begin{cases}
x=5k\\ 
y=-3k\\
z=k
\end{cases}$
т.е. вся система параметризуется относительно одного параметра $k$. Откуда $x,y,z$ не могут быть взаимно простыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение30.03.2010, 10:28 


28/03/10
62
age в сообщении #304283 писал(а):
DiviSer
Например, система:
$\begin{cases}
x+y-2z=0\\ 
3x+4y-3z=0\\ 
5x+6y-7z=0
\end{cases}$
Имеет все 4 определителя, равные нулю.

В данном случае получаем решение:
$\begin{cases}
x=5k\\ 
y=-3k\\
z=k
\end{cases}$
т.е. вся система параметризуется относительно одного параметра $k$. Откуда $x,y,z$ не могут быть взаимно простыми.

сами то числа
$\begin{cases}
x=5\\ 
y=-3\\
z=1
\end{cases}$
взаимнопростые, следовательно имеют решения :P
Вобщем такое простое решение для такой теоремы быть не может :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение30.03.2010, 11:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Именно, т.е. одно из них должно быть единицей. :D
Жаль, что это лишь "рассуждения", т.к. без п.5 они ничего не стоят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение31.03.2010, 22:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
age в сообщении #304388 писал(а):
Жаль, что это лишь "рассуждения", т.к. без п.5 они ничего не стоят.

Попробуем обойти п.2-п.5.
П.6. справедлив вне зависимости от п.2-п.5., согласно п.4:
Цитата:
4. Несложно заметить, что
$x_0^n+y_0^n=2z-z_0^n=z_0[2(2k_1n+1)-z_0^{n-1}]=z_0[2(2k_1n+1)-(2k_2n+1)]$$=z_0(2k_3n+1)$

Откуда:
$(x_0+y_0)(2k_1n+1)=z_0(2k_3n+1)$

с той лишь разницей, что теперь $z_0$ может иметь общие множители не только с $x_0+y_0$, но и простые числа $2kn+1\in(2k_1n+1)$.
Поэтому с данным ограничением все, что касается п.6 и выше - выполнимо.
Т.е. решение $x^n+y^n=z^n$ возможно лишь тогда, когда определитель матрицы равен 0:
$\left|\begin{array}{ccc} m_1&m_1&-m_2\\ m_3&m_4&-m_3\\ m_5&m_6&-m_6\\ \end{array} \right|=0$
Это нам точно так же дает нам ту же самую суть:

Для системы уравнений, для которой в соответствии с методом Крамера все четыре определителя равны 0, либо решений нет, и тогда $x_0+y_0=z_0$,
либо есть бесконечное количество решений, т.е. решение возможно лишь в параметрической форме, когда две неизвестные выражаются через третью (требование бесконечного количества решений).
Таким образом,
$\begin{cases} y_0=k_1x_0\\ z_0=k_2x_0\end{cases}$
Откуда для выполнения условия взаимной простоты $x_0=1$.
Но т.к. $x_0^n=z-y$, то $z-y=1$. $z=y+1$.
Откуда $x^n+y^n=(y+1)^n$.
Но можно показать, что последнее уравнение решений не имеет. Поэтому единственным условием, при которым возможны решения, остается $x_0+y_0=z_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересный результат на досуге в субботу (оцените)
Сообщение01.04.2010, 00:11 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
age в сообщении #305122 писал(а):
Таким образом,
$\begin{cases} y_0=k_1x_0\\ z_0=k_2x_0\end{cases}$
Откуда для выполнения условия взаимной простоты $x_0=1$.

Увы, коэффициенты $k_1,k_2$ могут быть рациональными числами с одинаковым знаменателем. Тогда $x_0\neq1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group