2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 ВТФ - простейший случай
Сообщение18.03.2010, 15:55 
Заблокирован


15/03/10

12
Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.
Утверждение 2 . При попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа $(z-y);(z-x);(x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Доказательство.
Из $x^3+y^3=z^3$ получаем: $\frac{x^3}{z-y}=z^2+zy+y^2$; $\frac{y^3}{z-x}=z^2+zx+x^2$; $\frac{z^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$. Очевидно, что бы последние равенства выполнялись в натуральных числах, число $z-y$ должно состоять только и только из множителей числа $x$; число $z-x$ должно состоять только и только из множителей числа $y$; число $x+y$ должно состоять только и только из множителей числа $z$. Таким образом видно что, при попарно взаимно простых по исходному предположению $x;y;z$ числа
$(z-y);(z-x);(x+y)$ так же должны быть попарно взаимно простыми.
Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство
$(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$. Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; $ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть
$t^3=\frac{(x+y)(z-x)(z-y)}{3^2}$.
Так как слева мы имеем $t^3$ - куб натурального числа, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно при взаимно простых $(x+y);$ $(z-x):$ $(z-y)$ только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,
$z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$. Можно взять любое другое из этих чисел равным 9 кубам, на результате исследования это не отразится.
Утверждение 4. Должно выполняться $x+y-z=3mgk$.
Доказательство.
Так как $(x+y-z)^3=(3t)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$, а $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$, то после подстановки получим $(3t)^3=3\bullet 9m^3g^3k^3$, а после извлечения кубического корня yвидим, что должно выполняться и $3t=x+y-z=3mgk$.
Утверждение 5. Должно быть $x=3mx_1$
Положив $z-y=9m^3$, мы тем самым определили, что из тройки $x;y;z$ именно число $x$ должно делиться на $3$. Действительно.
Из $x^3+y^3=z^3$ следует $\frac{x^3}{9m^3}=z^2+zy+y^2$, откуда видно, что $x$ должно делиться и на $3$ и на $m$, то есть должно быть $x=3mx_1$
Утверждение 6. При $y$ не делящемся на $3$ числа $(z-x); (z^2+zx+x^2)$; должны быть взаимно простыми. Доказательство.
Предположим обратное – пусть они имеют общий простой множитель $b$, то есть что $(z-x)=bA$; $(z^2+zx+x^2=bB)$, где $b;A;B$ - натуральные числа. После подстановки $z=x+bA$ получим $x^2+2Abx+b^2A^2+x^2+bAx+x^2 =bB$
$3x^2+3Abx+b^2A^2=bB$ и после деления на $b$ получим $\frac{3x^2}{b}+3Ax+bA^2=B$. Видим, что целым числом должна быть дробь $\frac{3x^2}{b}$. Это возможно в нашем случае только при $b=1$, так как при $b$ и $x$ делящихся на $3$ из $z-x=bA$ видно, что на $3$ должно делиться и $z$, что невозможно. При $x$ делящемся на $b$ из $z-x=bA$ так же видно, что на $b$ должно делиться и $z$, что так же невозможно при взаимно простых $z$ и $x$. Следовательно, возможно только $b=1$, то есть числа $(z-x);(z^2+zx+x^2)$ должны быть взаимно простыми. Совершенно аналогично доказательство необходимости взаимной простоты чисел
$(x+y);(x^2-xy+y^2$.
Утверждение 7. В рассматриваемом случае при $k;g;$ - натуральных не делящихся на $3$ взаимно простых числах, число $g^3-k^3$ должно делиться на $3^2$.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет равенству тождеству $2x=(x+y)-(z-x)+(z-y)$ Доказано, что в нашем случае должно быть $x=3mx_1$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$. После подстановки видно, что в рассматриваемом случае должно выполняться в натуральных числах и равенство $6mx_1-9m^3=g^3-k^3$.
Из последнего равенства после деления на $3$ получаем , что должно выполняться и равенство $2t-3m^3=\frac{g^3-k^3}{3}$. Замечаем, что число слева целое, поэтому и $\frac{g^3-k^3}{3}$ должно быть целым, то есть число - $g^3-k^3$ должно делиться на $3$.
Это возможно при $g;k$ не делящихся на $3$ только при $g-k$ делящемся на $3$. Действительно, так как $g;k$ не делятся на $3$, то в соответствии с «малой» теоремой Ферма должно быть $g^3-g=3p_g$; $k^3-k=3p_k$ тогда $(g^3-k^3)-(g-k)=3(p_g-p_k)$ и после деления всего равенства на $3$ получим, что должно выполняться
$(g^3-k^3)/3–(g-k)/3=p_g-p_k$.
Теперь видно, так как $(g^3-k^3)$ должно делиться на $3$, что бы равенство выполнялось в натуральных числах, на $3$ должно делиться и число $g-k$. Это возможно только если числа $g;k$ равно остаточны при делении на $3$. Таким образом числа $g;k$ должны иметь вид $g=3g_1+1$; $k=3k_1+1$. Но тогда
$g^3-k^3=3^3(g_1^3-k_1^3)+3^3(g_1^2-k_1^2)+3^2(g_1-k_1)$. Так как все слагаемые в правой части последнего равенства делятся на $3^2$, то и число $g^3-k^3$должно делиться на $3^2$.
Утверждение 8. Равенство $x^3+y^3=z^3$ не выполняется в натуральных числах при $x$ делящемся на $3$. Доказательство.
Любая тройка натуральных чисел $x;y;z$ удовлетворяет тождеству
$2x=(x+y)-(z-x)+(z-y)$. Доказано, что в нашем случае должно быть
$x=3mx_1$; $x+y=g^3$; $z-x=k^3$; $z-y=9m^3$ и число
$g^3-k^3$ должно делиться на $9$. После подстановки видно, что должно быть: $6mx_1=g^3-k^3+9m^3$. Тогда после деления всего равенства на $9$ видно, что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$. Здесь число справа – целое, как сумма целых чисел. В то же время число слева $2mx_1/3$ при взаимно простых не делящихся на $3$ по предположению натуральных числах $m;x_1$ , очевидно, целым быть не может. Это противоречие и доказывает, что равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$. не может выполняться в натуральных числах (не имеет решений в натуральных числах) в рассмотренном случае , а так как оно эквивалентно исходному по предположению $X^3+Y^3=Z^3$, то и последнее в рассмотренном случае так же не имеет решений в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение18.03.2010, 16:25 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Вроде всё верно почти до конца, но:
Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
В то же время число слева $2mx_1/3$ при взаимно простых не делящихся на $3$ по предположению натуральных числах $m;x_1$
А разве вы доказали, что $3$, $m$ и $x_1$ - взаимно простые?

В результате вы успешно доказали, что или $m$ или $x_1$ должно делиться на $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение18.03.2010, 17:56 


22/02/09

285
Свердловская обл.
Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
последнее в рассмотренном случае так же не имеет решений в натуральных числах.

Обьемное доказательство.Необходимо всегда помнить начинающим "фермистам",что
если бы ур-ние Ф. имело решение в целых числах(для простых степеней),то
$x+y-z$ должно делиться на $n^k,3,5,7$ ,где $k=2$ и более.
Т.есть кто-то из $xyz$ должен делится на $n^2$ и более.Т.как $2$ простое число,то
все сказанное относится и к второй степени с уточнением:если $xyz$ не делится на 7,то $x+y$ либо $x-y$ делится на $7$.Проверить очень просто.Удачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение18.03.2010, 22:15 


15/12/05
754
venco в сообщении #299050 писал(а):
А разве вы доказали, что $3$, $m$ и $x_1$ - взаимно простые?

В результате вы успешно доказали, что или $m$ или $x_1$ должно делиться на $3$.


По-моему это не сложно доказать, если почитать доказательство теоремы Софи Жермен в изложении Эдвардса. После его прочтения, выводил собственноручно соотношения Барлоу для Случая 2, когда одна из переменных кратна p. Их можно найти и без доказательства - готовые на странице 119 Рибенбойма. Действительно там правильно должно быть так: $3^{3k}mx_1$.

Поэтому ошибка не в взаимной простоте, а, похоже, в этом:

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.


Т.к. должно выполняться равенство:
$2*3^{3k-1}mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение18.03.2010, 23:07 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
ananova в сообщении #299175 писал(а):
Поэтому ошибка не в взаимной простоте, а, похоже, в этом:

Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
что должно выполняться равенство
$2mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.


Т.к. должно выполняться равенство:
$2*3^{3k-1}mx_1/3=(g^3-k^3)/9+m^3$.
Я о том же.
Vasilevich2010 разбил $x$ на множители так: $x=3mx_1$, его право. И при таком разбиении его равенство верно.
Но тогда должна быть ещё тройка в $m$ или $x_1$, и выражение слева будет целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 16:02 
Заблокирован


15/03/10

12
Уважаемые господа ! Пока что я не вижу указаний на неясности и ошибки в моём доказательстве Простейшего случая ВТФ. Я потому и назвал его простейшим случаем, что по исходному предположению $x$ делится только на $3^1$, так что случаи $x$ делящегося на $3^i$ при $i>1$ тут не причём. На тот факт, что из приведенного доказательства с очевидностью не следует, что ВТФ верна и при $x$ делящемся на $3^2$ и большей степени уже давно указала Shwedka. Оно и понятно – все такие $x$ исключены из рассмотрения исходным предположением. Так что все Ваши замечания к рассмотренному случаю не имеют отношения.
Замечу, что приведенное доказательство элементарно и доступно для любого выпускника средней школы и оно на мноооого проще, чем доказательство этого же случая у Л.Эйлера. Что бы Вы не тратили время на обвинения меня в зазнайстве подчеркну, что я сравниваю не себя с Эйлером, а своё доказательство с Его. А это, согласитесь, совершенно разные вещи.
Дед.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 16:13 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Vasilevich2010 в сообщении #299372 писал(а):
Оно и понятно – все такие $x$ исключены из рассмотрения исходным предположением

При том, что:
а) это предположение нигде в вашем доказательстве указано не было.
б) вы сделали вывод о неразрешимости уравнения $X^3+Y^3=Z^3$ в самом общем случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 16:14 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Тогда вы зря назвали его "простейшим" случаем, ибо простейший - это когда ни одно из оснований не делится на показатель степени. Доказывается ещё проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Где-то на нашем форуме я это уже видел... Или мне показалось?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 16:36 


22/02/09

285
Свердловская обл.
venco в сообщении #299376 писал(а):
Тогда вы зря назвали его "простейшим" случаем, ибо простейший - это когда ни одно из оснований не делится на показатель степени. Доказывается ещё проще.

Совершенно справедливое замечание.И я еще раз повторю:ур-ние Ф. для простых степеней не имеет решений в целых числах,если кто-то из $xyz$ делится только на
на $p^1$. Искать доказательство необходимо для случаев,когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 19:06 


15/12/05
754
Гаджимурат в сообщении #299386 писал(а):
Искать доказательство необходимо для случаев,когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.


А если существуют обходные пути, то не обязательно искать, когда $xyz$ делится на
$p^2$ и более.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 19:34 
Заблокирован


03/09/06

188
Украина, г. Харьков
Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.

Утверждение 3. Должно выполняться, например, $z-y=9m^3$:
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
Для любых чисел $x;y;z$ справедливо равенство
$(x+y-z)^3= y^3+x^3-z^3+3(x+y)(z-x)(z-y)$. Так как в нашем случае $x+y-z=3t$; $ y^3+x^3-z^3 =0$, то должно быть
$t^3=\frac{(x+y)(z-x)(z-y)}{3^2}$.
Так как слева мы имеем $t^3$ - куб натурального числа, то число справа должно быть целым кубом, а это возможно при взаимно простых $(x+y);$ $(z-x):$ $(z-y)$ только если два из чисел $(x+y);(z-x);(z-y)$ являются кубами, а одно равно девяти кубам, то есть должно быть, например,
$z-y=9m^3$: $z-x=k^3$; $x+y=g^3$. Можно взять любое другое из этих чисел равным 9 кубам, на результате исследования это не отразится.


Доказательство Утверждения 3 не имеет доказательную силу, так как использует результат Утверждения 1, который, в свою очередь, сам доказан неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 19:46 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
anwior в сообщении #299460 писал(а):
Доказательство Утверждения 3 не имеет доказательную силу, так как использует результат Утверждения 1, который, в свою очередь, сам доказан неверно.
А я не заметил ошибки...
Может, Вы поподробнее выскажетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 19:54 
Заблокирован


03/09/06

188
Украина, г. Харьков
Vasilevich2010 в сообщении #299041 писал(а):
Рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=3$.
Давно доказано, что в этом случае, если выполняется равенство $X^3+Y^3=Z^3$ при натуральных $Z;Y;X$, то должно выполняться и равенство $x^3+y^3=z^3$ при попарно взаимно простых $x:y:z$.
Предположим, что в натуральных попарно взаимно простых числах $x:y:z$ выполняется равенство $x^3+y^3=z^3$.
Утверждение 1. Должно быть $x+y-z=3t$ - $t$ – натуральное число.
Доказательство.
В соответствии с «малой» теоремой Ферма имеем $x^3-x=3A$;
$y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. С учётом того, что $x^3+y^3-z^3=0$ после сложения всех равенств получим что должно быть $x+y-z=3(C-B-A)=3t$; где $(C-B-A)=t$ – натуральное число.


В этом месте:
после сложения всех равенств получим...

 Профиль  
                  
 
 Re: ВТФ - простейший случай
Сообщение19.03.2010, 20:00 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
anwior в сообщении #299468 писал(а):
В этом месте:
после сложения всех равенств получим...
Ну эту неточность можно назвать маленьким умолчанием для стимуляции мыслительного процесса у читателей. :)
Идея-то правильная, а уж выбрать правильные знаки труда не составит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group