2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение05.03.2010, 22:43 


15/12/05
754
Добрый вечер!

Достаточно давно получил простыми математическими операциями для уравнения: $x^p+y^p=z^p$, где $p$ - простое нечетное число, результат, касающийся арифметического ограничения на значения степени $p$, относительно переменных $x, y, z$.

Если Вы помните результат Грюнтера, то этот результат, как говорится, - "из той же оперы".

Хотел бы его вынести на Ваш суд.

Результат, как минимум, такой: ВТФ справедлива, если $p > s/2$, при этом $x<y$. $s=(x+y-z)$

При беглом взгляде, результат можно значительно улучшить.

Доказательство.

Допустим справедливо гипотетическое равенство:

$x^p+y^p=z^p$

Исходные данные:
1) $x+y=z+s$
2) $x+y>z$ (известное арифметическое ограничение)
3) $x<y$ - предварительное условие, тогда:
4) $s<x<y$
5)$ s$ - чётное, т.к, если $ x$ и $y$ нечётные, то $z$ - четное и $s$ - чётное. Если $x $- нечетное, $y$ - четное, то $ z$ нечётное, а $s$ - чётное.

Задача доказательства - показать, что $s$ (во всех случаях) кратно $p$. Так как $p$ нечётное, а $s$ - чётное, то $s$ кратно не только $p$, но и 2. Поскольку $s<x<y$, то, как минимум, $s$: $2p = s$. Из предусловий следует, что $x>2p=s $. В случаях, когда $p$ принимает такие значения, что $x<2p$, то следует, что $x<s$. А это противоречит 4), что значит - ВТФ справедлива и для этого случая.

Рассмотрим уравнение:

1a) $(x+y)^p=(z+s)^p$

Поскольку:
$(x+y)^p=x^p+y^p+p(x+y)g(x,y)$, где $g(x,y) $- многочлен, кратный $xy$. (Знатокам детали разложения объяснять не надо?)

Аналогично:
$(z+s)^p=z^p+s^p+p(x+y=z+s)g(z,s)$.

Тогда из 1a) следует:
2a) $x^p+y^p+p(x+y)g(x,y) = z^p+s^p+p(x+y)g(z,s)$

3a) $p(x+y)g(x,y) = s^p+p(x+y)g(z,s)$

4a) $p(x+y)(g(x,y)-g(z,s)) = s^p$

5a) (для случая p=3)
$3(x+y)(xy-zs)=s^3$

Учитывая, что$p$ - простое число, то $s^p$ кратно $p^p$, а значит $s$ кратно $p$, что и требовалось показать. Кроме того, так как $s$ - чётно, то $s^p$ кратно $2^p$. Т.е. , как минимум, $2p=s$, а, поскольку $s<x$, то ВТФ справедлива при $p>s/2$.

Например. Извините за некоторую тавтологию. Раз результат - $p>s/2$ и ВТФ справедлива, рассмотрим вариант, когда $s$=6. В этом случае, согласно полученного результата, ВТФ справедлива для$p$=5 и выше.

Как следствие, минимальное значение $x$ (в уравнении Ферма) не может принимать значение меньше числа 7 (но это не принимая во внимание другие ограничения). Если же их учесть, то минимально допустимое значение $x$, для арифметических результатов, очевидно, гораздо выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение05.03.2010, 23:21 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
ananova. Результат запатентовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение05.03.2010, 23:32 
Заслуженный участник


04/03/09
906
ananova в сообщении #295018 писал(а):
Задача доказательства - показать, что $s$ (во всех случаях) кратно $p$.

Ужасть.
По малой теореме ферма $a^p \equiv a (mod \,p)$.
$0 = x^p+y^p-z^p \equiv x+y-z (mod \,p ) \Rightarrow (x+y-z) \vdots p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение05.03.2010, 23:38 


15/12/05
754
12d3 в сообщении #295036 писал(а):
ananova в сообщении #295018 писал(а):
Задача доказательства - показать, что $s$ (во всех случаях) кратно $p$.

Ужасть.
По малой теореме ферма $a^p \equiv a (mod \,p)$.
$0 = x^p+y^p-z^p \equiv x+y-z (mod \,p ) \Rightarrow (x+y-z) \vdots p$


Ну вот - видите, не зря опубликовал, доказательство быстро подсократилось! Правда, в этом (сокращенном варианте доказательства) - мало простора для улучшения результатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение06.03.2010, 12:36 


15/12/05
754
Случай I ВТФ

Из 5a) для $p$=3 следует, что ВТФ справедлива, т.к. $(x+y) $не кратно $p$, $xy$ не кратно $p$. Пожалуй, это ещё один вариант доказательства "в три строчки" для p=3.

Для $p$>3 необходимо доказать, что многочлен $g(x,y)$ из 4a) не кратен $p$, а ешё лучше, что разница $g(x,y)-g(z,s)$ не кратна $p^{p-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение06.03.2010, 14:15 


15/12/05
754

(Оффтоп)

В первом посте я случайно исказил фамилию автора:

Если Вы помните результат Грюнтера, ....

следует читать так: результат Грюнерта

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение06.03.2010, 16:35 
Аватара пользователя


25/03/09
94

(Оффтоп)

ananova в сообщении #295166 писал(а):
В первом посте я случайно исказил фамилию автора:

Если Вы помните результат Грюнтера, ....

следует читать так: результат Грюнерта
Автором этой теоремы был Пьер Ферма!

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение06.03.2010, 22:36 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
ananova в сообщении #295037 писал(а):
- мало простора для улучшения результатов.

ananova, чтобы простора" было ещё меньше, предлагаю частные случаи исключить
ananova в сообщении #295018 писал(а):
5) $s$- чётное, т.к, если $x$ и $y$ нечётные, то $z$ - четное и $s$ - чётное. Если $x$ - нечетное, $y$ - четное, то $z$ нечётное, а $s$ - чётное.
и
ananova в сообщении #295018 писал(а):
$p$- простое нечетное число,

а ограничиться только общим случаем, когда $x, y, z, n$ $\in$ $N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение06.03.2010, 23:10 


15/12/05
754
Виктор Ширшов в сообщении #295305 писал(а):
предлагаю частные случаи исключить


Если добавить больше нечего, то модераторам можно эту тему закрыть. Для более общих случаев тем вполне достаточно открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 08:39 


22/02/09

285
Свердловская обл.
ananova в сообщении #295018 писал(а):
Результат, как минимум, такой: ВТФ справедлива, если $p>s/2$, при этом $x<y. s=(x+y-z)$.

Извините,но данное предположение не имеет ничего общего к доказательству ВТФ,так как для каждой степени $p$ соответствует свое определенное значение $s$.
$s=x+y-z=abcm$, где: $c>a>b$$m>b^{p-3}$.
Поэтому $s>b^p$. Если даже принять,что $b=3$ ($b$ нечетное),то мы имеем
$s>3^p$. И как Вы согласуете после этого,что ВТФ справедлива,если $p>s/2$ ?.
Принимаем $p=s/2$,тогда $s>3^{s/2}$. И что дальше?.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 11:39 


15/12/05
754
Гаджимурат в сообщении #295381 писал(а):
Извините,но данное предположение не имеет ничего общего к доказательству ВТФ,так как для каждой степени $p$ соответствует свое определенное значение $s$.


Да, совершенно верно! Значение $s$ связано для каждого конкретного значения, которое могут принять переменные $x,y,z,p. $. Если сложно это понять, то просто подставьте конкретные значения и связь выйдет на поверхность. Если Вы докажете, что

ananova в сообщении #295018 писал(а):
$3(x+y)(xy-zs)=s^3$


не имеет решений в целых числах (с учетом предположения, что $x^3+y^3=z^3$), то докажете ВТФ для степени 3.

Если я глубоко ошибаюсь, что возможно, то пусть Вашу точку зрения поддержат собратья по разуму ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 17:28 


22/02/09

285
Свердловская обл.
ananova в сообщении #295434 писал(а):
. Если Вы докажете, что $3(x+y)(xy-zs)=S^3$

Это ур-ние я знаю более 30 лет и знаю ур-ние для любой простой степени $p$.
Если принять $z-x=n$, а $z-y=n_1$,то $s^3=3(x+y)nn_1$.
Принимаем $3(x+y)=c^3$ , $n=a^3$, а $n_1=b^3$, то $s^3=c^3a^3b^3$ и
$s=abc$ и ,если бы ур-ние Ф. для $p=3$ имело решение в целых числах,то:
$x=s+n_1=abc+b^3$
$y=s+n=abc+a^3$
$z=s+n+n_1=abc+a^3+b^3$
$z=cd$
$c^2/3=d+ab$
$3d^3=x^2+y^2-xy=n^2+n_1^2-nn_1+abcz$
(ур-ния написаны для случая $z$ делится на$3$.
И это еще не все ур-ния. Для $p>3$ ур-ния будут сложнее,т.есть $s=abcm$.
$m^p$-обьемное ур-ние,так для $p=5$
$m^5=x^2+y^2+nn_1=n^2+n_1^2+nn_1+2abcz$ или
$m^5=a^{10}+b^{10}+a^5b^5+(abcm)^2+abcm(a^5+b^5)$
Это для случая,когда $z$ делится на $5$.Есть что анализировать.
Я много знаю про ВТФ,но точку поставить не могу-не хватает знаний и годы уже не те.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 18:10 


15/12/05
754
Гаджимурат в сообщении #295599 писал(а):
Это ур-ние я знаю более 30 лет и знаю ур-ние для любой простой степени $p$.


Я уважаю Ваши познания в области этой теоремы и полагаю, что Вы сможете сделать больше выводов чем я по показателю степени $p$ и возможным значениям числа $s$.

Кстати, вот тут ещё более сильный результат, полученный другим исследователем.

Nilenbert в сообщении #162296 писал(а):
Если не ошибаюсь, на это счёт была маленькая заметка в Кванте (№2 1991, доступна в интернете тут Страшевич С., Бровкин Е., Малая и Большая теоремы Ферма.
Там показано, что если $p$ - простое, $p>3$, и $x^p+y^p=z^p$, для некоторых натуральных $x,y,z$, то $x>6p$
.

И скажу больше - есть другой подход к этой задаче без использования числа $s$ и он даёт аналогичные результаты. Т.е., если предположить что ВТФ справедлива, то для $p$=3 , $x$>6 (при условии, что другие ограничения не действуют).

-- Вс мар 07, 2010 18:13:11 --

Гаджимурат в сообщении #295599 писал(а):
$z-x=n$, а $z-y=n_1$


Вот тут, мне кажется, что требуется дополнительное пояснение, что эти два числа взаимнопросты. Без этого дальше могут быть проблемы, т.к. Вы считаете их кубами, а кубами могут быть только взаимнопростые числа (в этом контексте).

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 22:36 


22/02/09

285
Свердловская обл.
ananova в сообщении #295617 писал(а):
Вот тут, мне кажется, что требуется дополнительное пояснение, что эти два числа взаимнопросты. Без этого дальше могут быть проблемы, т.к. Вы считаете их кубами, а кубами могут быть только взаимнопростые числа (в этом контексте).

Это не мое открытие и что $x+y=c^p$, а $z-x=b^p$ и $z-y=a^p$ доказали еще за 100 лет до меня,но все исследователи прошли мимо такого факта,что
$xy-zs=nn_1$ и,если $(z+s)^2=(x+y)^2 $ и
$z^2+s^2+2zs=x^2+y^2+2xy$
$z^2+s^2=x^2+y^2+2xy-2zs=x^2+y^2+2nn_1$ и,если $x^2+y^2=z^2$,то
$s^2=2nn_1$. Приняв $2n=a^2$ , а $n_1=b^2$ имеем
$s^2=a^2b^2$ и $s=ab$,тогда
$x=ab+b^2$
$y=ab+a^2/2$
$z=ab+b^2+a^2/2$,где $x$-нечет,а $y$-четное ,т.есть
$a$-четное,а $b$-нечет, $a$ и $b$ взаимно простые числа.
Мы получили(довольно просто) новые формулы для определения $xyz$ для $p=2$.
И так можно получить формулы для любой степени $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.
Сообщение07.03.2010, 23:29 


15/12/05
754
Гаджимурат в сообщении #295716 писал(а):
Мы получили(довольно просто) новые формулы для определения $xyz$ для $p=2$.


Я не знал о формулах, которые Вы привели. Возможно я их просмотрел в Рибенбойме. Не подскажете ссылочку, где они были получены? (Я имею ввиду формулы, которые были 100 лет назад)

Жаль, что у меня сейчас нет времени заниматься проблемой и нет времени на разные выводы и проверки ;( Может оно позже появится и я обязательно "поиграю" с Вашими результатами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group