Арифметические ограничения для степени p в уравнении Ферма.

[Vasilevich2010]

Уважаемый ananova ! Вы заблуждаетесь. Ваше утверждение очевидно – но оно не доказывает, что равенство $x^p+y^p=z^p$ выполняется. Доказать , что равенство Ферма выполняется можно только одним способом – найти такие $x;y;z$ для которых $x^p+y^p=z^p$. Таких утверждений как Ваше можно привести много. Самое очевидное, например такое - $z>x+y$. Вот если взять утверждение обратное Вашему $p<(x+y-z)/2$ ( не трудно доказать, что именно так и должно быть, чтобы выполнялось $x^p+y^p=z^p$), то это доказанное утверждение можно будет использовать при поиске противоречия, доказывающего верность утверждения Ферма.

[ananova]

Vasilevich2010 в сообщении #298218 писал(а):

оно не доказывает, что равенство $x^p+y^p=z^p$ выполняется.

Часто не удается выдать такую формулировку, чтобы всем было с первого раза абсолютно понятно. Такие вот есть проблемы. Хочу подтвердить, что

Я не доказываю, что равенство выполняется.

Как Вы отметили, можете взять

Vasilevich2010 в сообщении #298218 писал(а):

утверждение обратное Вашему $p<(x+y-z)/2$

и использовать при поиске противоречия в ВТФ. При $p>(x+y-z)/2$ этим заниматься бесполезно.
...

-- Вт мар 16, 2010 12:27:51 --

ananova в сообщении #298172 писал(а):

Было любопытно заметить каким же будет минимальное значение $x$.

Так вот, для этого случая, получил результат, что минимальное значение $s$=54. В этом случае $r$=2, $r'$=23.

Соответственно, для гипотетического решения, минимальное значение $x$ = 55. ($x<y$).

Тут вкралась неточность в подсчеты минимального значения $x$... Не учёл, что $r'$ - отрицательное число.

Можно говорить о минимальном допустимом значении:
$(r^2+r')$ =3.

Если $r'$ положительное, то $s=r(r^2+r')>r^3=(x+y)$, что не так. Поэтому минимальное значение x будет не таким.

Впрочем, мои расчёты с соотношениями Барлоу никто не перепроверял, поэтому надо это учитывать...

[ananova]

Хочу ещё раз подчеркнуть, что если пишут "ВТФ справедлива" - это означает, что $x^n+y^n \neq $ $z^n$.
ВТФ справедлива для конкретных случаев, когда эти конкретные случаи не имеют решения.

-- Вт мар 16, 2010 13:41:45 --

Касательно Вашего замечания

Vasilevich2010 в сообщении #298218 писал(а):

Таких утверждений как Ваше можно привести много. Самое очевидное, например такое - $z>x+y$.

Тут дело такое. В совокупности подобные ограничения не систематизированы. Больше всего их можно найти в книге Рибенбойма - "ВТФ для любителей". Собственно самих утверждений автора там не так много. В основном упоминаются результаты, опубликованные другими авторами, включая перечень ошибочных результатов. Приведенное мной доказательство в книге Рибенбойма Вы не найдёте по понятным причинам. Хотя я могу Вам привести страницу c этой книги на которой доказывается, что $x$ > 3.

[ananova]

После открытия темы прошло больше года, поэтому можно подвести итог.

Можно сформулировать теорему (с привязкой к личности автора).

Теорема Вахтерова: Уравнение $x^p+y^p=z^p$ не имеет целочисленных решений, при следующих значениях неизвестных: $p> \frac {(x+y-z)} 2$, где p - простое число, больше 2; x, y, z - целые положительные числа.

Справедливость теоремы следует из невозможности нарушения тождества:

$${x+y-z = 2pK}$$

и следующего из него:

$$p = {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$

$K$ - целое положительное число, кратное некоторым множителям $x, y, z$.

Важно! Если тождество не выполняется, то, следовательно, и основное уравнение Ферма не будет иметь целочисленных решений.

Нарушим тождество, изменив $p$ в сторону увеличения.

Пусть $p$:

$$p > {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$

В этом случае тождество не выполняется.

Тем более тождество не выполняется, при $p > {\dfrac {x+y-z} {2}}$, т.к.

$${\dfrac {x+y-z} {2}} > {\dfrac {x+y-z} {2K}}$$

PS: информацию откуда "взялось" тождество можно найти в начале темы.