2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение03.03.2010, 18:27 
Аватара пользователя


23/11/09
1607
Прошу проверить. Слишком давно не занимался. Чувствую - где то ошибка...
Условие: Отобразить пучок прямых $y=kx , при  (-\infty\<k<+\infty)$ , проходящих через начало координат плоскости $Z$, в пучок кривых,
проходящих через начало координат плоскости $W$.
При этом:
- ось $y$ преобразуется в ось $y'$ без изменений,
- ось $x$ преобразуется в $y'=ln(1-x'^2)$,
- прямая $y= x$ преобразуется в $y'=ln(1+x')$,
- прямая $y=-x$ преобразуется в $y'=ln(1-x')$.

Вывод формулы преобразующей функции.

Для того чтобы кривая получилась в явном виде
$y=ln(1-x^2)$,
будем искать преобразование в виде:
$x'=a_1 x_0+b_1 y_0$ , (*)
$y'=ln(1-Ax_0^2-By_0^2-Cx_0-Dy_0)$ , (**)
т.к. ось OY⇒OY', и учитывая. что конформное отображение точки пересечения отображает в точки пересечения (т.е. (0,0) ⇒ (0,0)), получим:
$x_0=0,y_0=N$; ⇒$0=x'=a_1∙0+b_1∙N$,
$(N>0)$ - произвольное действительное число.

Oткуда получаем, что $b_1=0$; для упрощения можно положить $a_1=1$, т.к. при подстановке его в уравнение(**) получим новые неизвестные коэффициенты $A'=A/a_1$ и $C'=C/a_1$ , от чего задача не меняется.
Итак, новая система имеет вид :
$x'=x_0$ , (*)'
$y'=ln(1-Ax_0^2-By_0^2-Cx_0-Dy_0)$ (**)'

Теперь подставим в уравнение (**)' ось OX:
$x_0=N=x^'$,$y_0=0$;
$y'=ln(1-Ax'^2-Cx')=ln(1-x'^2)$
получим что:
$A=1$, $C=0$.

Подставим в уравнение (**)’ прямую $y=x$,$x>0$:
$x_0=N=x'=y_0$; ⟹$y'=ln(1-x'^2-Bx'^2-Dx')=ln(1-x')$,
откуда получим:
$B=-1$; $D=1$;

Окончательно:
$x'=x_0$ ,

$y'=ln(1-x_0^2+y_0^2-y_0)$.

$y'=ln(1-x_0^2+k^2 x_0^2-kx_0 )=ln(1-x_0^2 (1-k^2 )-kx_0)$.

Искренне благодарю за потраченное на меня время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение03.03.2010, 19:00 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Что там за квадратики такие? Копипаста... Откуда? Сюда вообще нехорошо копипастить, я бы на месте модераторов подобные вещи запретил.

-- Ср мар 03, 2010 22:02:01 --

Gravist в сообщении #294240 писал(а):
Прошу проверить. Слишком давно не занимался. Чувствую - где то ошибка...

Это не Ваше решение, иначе бы квадратиков не было! Кто после этого возьмётся что-то проверять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение03.03.2010, 19:07 
Аватара пользователя


23/11/09
1607
Профессор Снэйп в сообщении #294251 писал(а):
Что там за квадратики такие? Копипаста... Откуда? Сюда вообще нехорошо копипастить

Только учусь, извините... Исправлюсь в дальнейшем, и поясните, пожалуйста:
Что там за квадратики такие? О чем речь?
Копировал со своего Вордовского листа, потом 2 часа подгонял в Tex

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение03.03.2010, 19:45 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
А почему конформно-то? Вы сначала определитесь что (какую область) Вы хотите отобразить и куда (на какую область).

То, что Вы написали -- это не конформное отображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение03.03.2010, 21:40 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Gravist в сообщении #294253 писал(а):
Что там за квадратики такие? О чем речь?
Скорее всего, речь идёт о наборе некоторых мат. символов юникодом вместо TeX'a:
Цитата:
(0,0) ⇒ (0,0)

Некоторые браузеры отображают вместо таких символов квадратики, поэтому все формулы надо набирать только через TeX:
Код:
$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$
$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение04.03.2010, 12:58 
Аватара пользователя


23/11/09
1607
Максим Маслов, Вам действительно спасибо. При переходе в TeX, я не мог найти
Maslov в сообщении #294304 писал(а):
... через TeX:
Код:
$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$
$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

Профессор Снэйп, не ожидал подобной отписки, на такое воспитанные люди не реагируют:
Профессор Снэйп в сообщении #294251 писал(а):
Это не Ваше решение, иначе бы квадратиков не было! Кто после этого возьмётся что-то проверять?

Padawan в сообщении #294263 писал(а):
А почему конформно-то? Вы сначала определитесь что (какую область) Вы хотите отобразить и куда (на какую область).
То, что Вы написали -- это не конформное отображение.

Уважаемый Padawan, меня интересует именно отображение плоскости на плоскость, что отражено в заголовке темы. Что же касается конформности найденной отображающей функции, то:
- она аналитична в окрестности точки пересечения кривых,
- сохраняет углы между кривыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение04.03.2010, 18:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Конформное отображение плоскости на плоскость - это дробно-линейное отображение вида $w=\frac {az+b}{cz+d}$. Если есть дополнительное условие $w(0)=0$, то $w=az$.

Если же Вам нужно конформность только в точке $z=0$, то да.

Но Ваше отображение в точке $x_0=10, y_0=1$ не определено.

И вообще, взаимно-однозначно отобразить плоскость $z$ на плоскость $w$ так , чтобы указанные Вами прямые перешли в указанные кривые невозможно. Куда отобразятся прямые $y=kx, k>0$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение04.03.2010, 19:43 
Аватара пользователя


23/11/09
1607
Padawan в сообщении #294542 писал(а):
...взаимно-однозначно отобразить плоскость $z$ на плоскость $w$ так , чтобы указанные Вами прямые перешли в указанные кривые невозможно...

Значит, и это мое направление не верно. Дробно-линейное пробовал. Куда бы направиться? Вернусь к постановке задачи!
А тема пусть пока постоит, м.б. мозговая атака и сработает.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение05.03.2010, 12:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #294542 писал(а):
Конформное отображение плоскости на плоскость - это дробно-линейное отображение вида

Любое конформное отображение плоскости на плоскость дробно-линейно? Мне почему-то всегда казалось, что это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение05.03.2010, 17:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Если не разрешать никакой конечной точке отображаться в бесконечность, т.е. отображение конечной плоскости на конечную плоскость, то вообще только линейное отображение $w=az+b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение05.03.2010, 17:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Не, ну понятно, что речь идёт про расширенную комплексную плоскость.

А как доказывается, что любое конформное отображение дробно-линейно (линейно, если не рассматривать бесконечно удалённые точки)? Забыл уже ТФКП :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение06.03.2010, 14:03 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Профессор Снэйп, дело в том, что если потребовать, чтобы заданная точка переходила в заданную точку, и задать аргумент производной в этой точке, то конформное отображение единственно (теорема Римана). А поскольку можно построить дробно-линейное отображение, удовлетворяющее указанным требованиям, то это оно и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение06.03.2010, 14:51 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Полосин
Но это для отображения односвязной области $D\subset \overline{\mathbb{C}}$, граница которой содержит более одной точки.

А ведь у нас речь идет об отображении римановой сферы $\overline{\mathbb{C}}$.

А для отображений римановых поверхностей какие теоремы единственности есть?

Например, отображение $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, переводящее ноль в ноль c $\arg w'=0$ неединственно: $w=az$, $a>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение06.03.2010, 15:50 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Padawan, возможно, я упускаю какие-то детали, но давайте выколем две точки $z_1$ и $z_2$, которые переходят в $0$ и $\infty$ соответственно, тогда оставшаяся область подпадает под теорему Римана, и стало быть, $w=k\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$, где $k$ произвольно. Если $\infty\rightarrow\infty$, то $w=k(z-z_1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конформно плоскость Z в плоскость W
Сообщение07.03.2010, 04:52 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Полосин в сообщении #295164 писал(а):
конформное отображение единственно (теорема Римана).

Спасибо. Я просто формулировку теоремы Римана плохо помнил. Знал, что она утверждает существование конформного отображения, а про единственность забыл :oops:

-- Вс мар 07, 2010 07:54:59 --

Полосин в сообщении #295183 писал(а):
...давайте выколем две точки $z_1$ и $z_2$, которые переходят в $0$ и $\infty$ соответственно, тогда оставшаяся область подпадает под теорему Римана...

Посмотрел теорему Римана в Википедии. Там вроде требуется, чтобы область была односвязной, а после выкалывания точек односвязности не будет!

-- Вс мар 07, 2010 07:59:18 --

Короче, если я правильно понял возражение Padawan, то ссылка Полосина на теорему Римана здесь неуместна. Как тогда доказывать, что всякое конформное отображение $\overline{\mathbb{C}}$ на себя есть дробно-линейная функция (а всякое конформное отображение $\mathbb{C}$ на себя --- линейная функция)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group