разложить на множители : x2y + y2z +z2x - xy2 - yz2 - zx2

[ProX]

нет, задачу написал также, как на бумаге...

ещё задание появилось, нужно разложить на множители : x2y + y2z +z2x - xy2 - yz2 - zx2, тут я вижу, что, по-идеи, всё сокращается имеет ли смысл разлогать на множители? Если да, напишите пожалуйста конечный результат. (решения не нужно, сам буду искать)

от модератора AD:

Задача откушена в отдельную тему.

[gris]

А вот написали бы, как полагается. Сначала $, потом Ваше выражение, возведение в квадрат ^2 и снова доллар. И увидели бы решение.

$x^2y + y^2z +z^ 2x - xy^2 -yz^2 - zx^2$

[math]$x^2y + y^2z +z^ 2x - xy^2 -yz^2 - zx^2$[/math]

Группировать, выносить за скобки

[ProX]

блин, дали задания в документе Word и там у меня 2 является не степенью, а множителем. Подозреваю что, те, кто писал задания не знает как в Worde ставить степень...
а не подскажите результат?

[gris]

Да я в этом обычно ошибаюсь. Идею подать пожалуйста, а как сам начну делать - ничего не получатся. Ну сгруппируйте по парам + с -.

[ProX]

gris в сообщении #293249 писал(а):

+ с -.

что это значит?

[gris]

Ну одночлены с плюсом группировать с одночленами с минусом. Впрочем, я не соображу сейчас. устно не получается.

[ProX]

хех, может ещё кто нибудь поможет?

[gris]

ну попробуйте порассуждать. Шесть слагаемых третьей степени. Вероятно перемножаются три очень простых двучлена. Остаётся со знаками определиться. Два лишних сократятся.
Перед группировкой добавьте и вычтите $xyz$

[ProX]

третьей степени?

-- Вс фев 28, 2010 16:12:19 --

gris
может попробуете решить? ответы сравним...

[gris]

ProX
Давайте я начну $(x-y)(...)(...)$

[ProX]

gris
у меня не так, как у вас 3 множителя получается?

-- Вс фев 28, 2010 22:01:29 --

gris в сообщении #293259 писал(а):

Перед группировкой добавьте и вычтите $xyz$

зачем прибавлять, затем отнимать?

[gris]

а как у Вас? Проверить-то нетрудно - скобки раскрыть. А прибавить-отнять способ такой есть при разложении. Например

$x^4+4=x^4+4+4x^2-4x^2=(x^4+4x^2+4)-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

[Батороев]

ProX
Не хотите по короткому пути, который предлагает gris, давайте пойдем по длинному:

$$ x^2y+y^2z+xz^2-xy^2-yz^2-x^2z =$$

$$ =xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)=$$

$$=\frac{1}{3} [(x^3-y^3)-(x-y)^3]+\frac{1}{3}[(y^3-z^3)-(y-z)^3]+\frac{1}{3}[(z^3-x^3)-(z-x)^3]=$$

$$=-\frac{1}{3}[(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3]=$$

$$=-\frac{1}{3}[(x-y+y-z)^3-3(x-y)(y-z)(x-y+y-z)+(z-x)^3]$$

[gris]

Круто.

Это как при интегрировании. Нет метода однозначно определить способ разложения (или способа определить метод), чего хотят вопрошающие. Иногда совершенно- непонятно-откуда-взятая подстановка/группировка дают результат. И трудно объяснить, как "допереть" до эффективной группироовки, до прибавления-вычитания некоторого выражения.

Хотя определённые соображения должны сразу приходить в голову. Ну, например, однородность нашего выражения (что я подразумевал под словами - одночлены третьей степени), его некоторая симметричность относительно переменных. А главное - опыт в разложении всевозможными способами и методами и знание формул сокращённого умножения.