2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение26.02.2010, 21:02 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Андрей АK в сообщении #292713 писал(а):
AGu в сообщении #292698 писал(а):
В классическом анализе (и в нестандартном анализе, разумеется, тоже) такого числа нет.
В классическом нет, а в "Нестандартном" - поищите описание "гипердействительных чисел" и там найдёте это число.
Пожалуйста, ведите себя корректно и не отсылайте меня к учебникам (которые я, уверяю Вас, прекрасно знаю). Если Вы утверждаете, что в нестандартном анализе есть такое число -- а именно, наименьшее среди строго положительных чисел (гипердействительных или просто действительных) -- извольте это доказать, опираясь на имеющуюся аксиоматику нестандартной теории множеств (Нельсона, Хрбачека, Каваи, кого угодно), или предъявить его, исходя из теоретико-модельного подхода Робинсона. (Забегая вперед, скажу с абсолютной уверенностью, что Вам это не удастся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение26.02.2010, 22:03 


19/11/08
347
AGu в сообщении #292738 писал(а):
Если Вы утверждаете, что в нестандартном анализе есть такое число -- а именно, наименьшее среди строго положительных чисел (гипердействительных или просто действительных) -- извольте это доказать, опираясь на имеющуюся аксиоматику нестандартной теории множеств (Нельсона, Хрбачека, Каваи, кого угодно), или предъявить его, исходя из теоретико-модельного подхода Робинсона. (Забегая вперед, скажу с абсолютной уверенностью, что Вам это не удастся.)

Свойство числа быть наименьшим, среди всех существующих, или не быть наименьшим, никак не влияет на манипуляции, с ним производимым.
Можно сказать, что "обобщенные свойства" - т.е. только те что влияют на вычисления дифференциалов, и в классическои и в "Нестандартном" - они совпадают.
Вообще, единственное свойство, которое здесь требуется от эпcилон - это быть бесконечно малым.
Все!
Все, остальное интересует только теорию чисел.
Поэтому "в обобщенном смысле" и эпсилон из гипердействительных чисел и классический дифференциал и мое эпсилон - это все один и тот же объект.

-- Пт фев 26, 2010 23:06:32 --

venco в сообщении #292724 писал(а):
Продолжим про свойства $\varepsilon$:
$$\varepsilon > 0 \eqno{(6)}$$

Здесь нужна ваша помощь. Чему равно:
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = ?$$

Я ведь уже писал.
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0.100...0000 \cdot \varepsilon
-здесь точка (после нуля) - это не разделитель дробных разрядов, а просто некий маркер, отделяющий единичный разряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение26.02.2010, 23:40 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):
venco в сообщении #292724 писал(а):
Чему равно:
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = ?$$

Я ведь уже писал.
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0.100...0000 \cdot \varepsilon
Это не ответ.
Попробуем по другому.
Какое из сравнений верно:
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon < \varepsilon\eqno{(7)}$$
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = \varepsilon\eqno{(8)}$$
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon > \varepsilon\eqno{(9)}$$


Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):
-здесь точка (после нуля) - это не разделитель дробных разрядов, а просто некий маркер, отделяющий единичный разряд.
Т.е., не маркер, стоящий слева от дробных разрядов, а маркер, стоящий справа от единичного разряда? Глубокая мысль. ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 01:00 


19/11/08
347
venco в сообщении #292839 писал(а):
$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = \varepsilon$

Это неверно.
Видимо вы были введены в заблуждение моим ранним постом.
Там я не совсем верно выразил мысль.
Существует два представления: обычное (там точка означает разделитель дробных разрядов) и перевернутое (сделаем там другой разделитель)
$1.000... = 1'000...0000$
$\frac 1 2$ - это в обычном представлении
$0'100...0000$ -это в перевернутом.
Как видно, в перевернутом представлении не существует дробных чисел.
Вот иерархия бесконечно малых величин:

$\varepsilon =1 \cdot \varepsilon = 0.000...0001 $

Это можно назвать определением числа $\varepsilon$

Оно же:

$1'000...0000 \cdot \varepsilon $

Теперь начнем его делить, получая все более маленькие числа:

$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0'100...0000 \cdot \varepsilon $

$\frac 1 4 \cdot \varepsilon = 0'010...0000 \cdot \varepsilon $

И т.д.
пока не получим

$\frac 1 2^N \cdot \varepsilon = 0'000...0001 \cdot \varepsilon $

Дальше делить пополам нельзя ... но можно заметить, что $0'000...0001 \cdot \varepsilon =0.000...0001 \cdot \varepsilon =\varepsilon \cdot \varepsilon = 1'000...0000 \cdot \varepsilon^2 $

Т.е. перешли на новый уровень.

У чисел $\varepsilon^2 $ своё пространство/область/окрестность ..., бесконечно малое относительно $\varepsilon$

Чтобы получить $\varepsilon^2 $ надо $\varepsilon $ разделить на бесконечность (т.е. очень постараться).
А при обычных арифметических операциях мы так и будем оставаться в области $\varepsilon$ - бесконечно малых чисел, умноженных на бесконечно большие целые числа. (гиперцелые числа - хорошее название)

Т.е. у нас нигде нет дробных чисел от $\varepsilon $ - все числа целые (хоть и бесконечно большие) умноженные на некую константу ... которая определяет степень минитюаризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 01:10 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Вы не забыли, с чего начинали эту тему?
Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):
Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 01:33 


19/11/08
347
venco в сообщении #292865 писал(а):
Вы не забыли, с чего начинали эту тему?
Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):
Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

Не маленькое положительное, а бесконечно малое, и даже бесконечно малая единица.
Может показаться, что такой подход (объявление что мол у действительных чисел есть конец ... с другой стороны бесконечности) ничего особого не даёт ... но кроме перехода на точные формулы конечных разностей, могут быть ещё выгоды.

Например, если бы мы определили бесконечные ряды ... с окончанием!
Т.е. бесконечные в середине.
Тогда эти ряды перестали бы быть многозначными и стали бы сходящимися (знакопеременные).
Известный пример:
$1-1+1-1...$ - дает неоднозначность.
А вот ряд:
$1-1+1-1...-1 = 0$
А ряд
$1-1+1-1...+1 = 1$
(внутри у каждого бесконечное количество членов)
Значит, такой подход (бесконечность в середине) может много дать, в первую очередь точность и однозначность.

Как же закончить бесконечный ряд?
А вот на числе $\varepsilon$ и закончить - ни один ряд не может иметь членов больше , чем $\frac 1 \varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 02:30 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Андрей АK в сообщении #292873 писал(а):
venco в сообщении #292865 писал(а):
Вы не забыли, с чего начинали эту тему?
Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):
Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

Не маленькое положительное, а бесконечно малое, и даже бесконечно малая единица.
Единица - это единица. Число с вполне определёнными свойствами. А "бесконечно малая единица" - абсурд.

Давайте ещё раз, только без увёрток. Число $\frac 1 2 \varepsilon$ меньше, чем $\varepsilon$?
Отвечайте прямо, одним словом: "да" или "нет". Потом можете добавить комментарий, если хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 12:26 


19/11/08
347
$\frac 1 2 \varepsilon$ Это уже другой уровень малости.
На этом уровне самое маленькое число это $\varepsilon^2$
Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?
Ни делением, ни разностью (только не дифференциальной) вы его получить не могли.
Вот и выходит, что с точки зрения обычной арифметики - вы никаким образом не можете получить числа , меньшего $\varepsilon$
Только если возьмете "уже готовое" эпсилон и начнете его делить ... да на этом уровне $\varepsilon$ уже не самое маленькое число, но там есть другое самое маленькое.
Т.е. можно сказть, что $\varepsilon$ - это "обобщенно самое маленькое число" - в группе некоторых преобразований (полиномов) невозможно получить ничего меньше этого числа.
Его можно получить с помощью функционала: $p(x+\varepsilon)-p(x)$ - но это уже другой вопрос на повестке. (К тому же в этот функционал уже подставили "готовое" эпсилон - которое опять же не было получено никакими операциями, а было привнесено извне).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 15:00 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):
Свойство числа быть наименьшим, среди всех существующих, или не быть наименьшим, никак не влияет на манипуляции, с ним производимым.
Перевожу: отсутствие числа никак не влияет на манипуляции, с ним производимыми. Прелесть.

Еще раз прошу не называть числом то, что им не является! Да и вообще стоило бы называть вещи своими именами, а не присваивать чужие имена своим вещам.

Андрей АK писал(а):
Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Числа $\varepsilon/2$ - не существует
Т.е. $\varepsilon$ - это такая единица, очень маленькая.
умножение становится "сомнительной операцией".
А вот деление на переменные - это немного другое.
гипердействительные числа - это целые числа!
Итак единица на ноль это бесконечно большое число $\frac1\varepsilon$
Число $\frac12$ в ней - это бесконечно большое число
Я же говорил, об отсутствии чисел между $0$ и $\varepsilon$.
Два СОСЕДНИХ действительных числа

Если Вы считаете, что процитированное является «небольшой модификацией нестандартного анализа», то у нас с Вами весьма различные представления о смысле слова «небольшой». (Впрочем, это было понятно уже из Вашего стартового поста. :-))

Теперь — по делу...

Я прекрасно вижу, к чему Вы стремитесь (идеологически, философски и отчасти математически). При должном старании Вашим сырым и невнятным мыслям вполне можно придать строгость. Но в придании им строгости нет ровным счетом никакого смысла. Современный нестандартный анализ уже имеет в своем арсенале все, чего Вы добиваетесь, и гораздо больше. В таком «добавлении красоты» он не нуждается. Вы отнюдь ничего не добавляете. Наоборот, Вы пытаетесь кастрировать нестандартный анализ. (Думаю, Вы делаете это неосознанно — просто по незнанию и непониманию.) Ваш nonanalysis представляет собой не что иное как гиперконечную аппроксимацию вещественной прямой с фиксированным бесконечно малым шагом.

Далее... К сожалению, Ваша «идея» не нова. (Я здесь сожалею не Вам, а науке.) Мне очень не хочется популяризировать псевдонауку, но я вынужден упомянуть некую страничку, в конце которой Вы обнаружите ссылки на почти дословную реализацию Ваших «идей». Будучи уверенным в том, что содержимое тех ссылок покажется Вам оригинальным и красивым, сразу скажу, что эти «идеи» на самом деле бесплодны и тривиальны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 16:45 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Андрей АK в сообщении #292957 писал(а):
Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?
Вы определитесь, "меньше числа не получится", или таки "$\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 17:10 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
venco в сообщении #293027 писал(а):
Андрей АK в сообщении #292957 писал(а):
Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?
Вы определитесь, "меньше числа не получится", или таки "$\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$"?
Видите ли, у нас тут «числами» сначала считаются только числа вида $n\varepsilon$ ($n\in\mathbb Z$). Это числа первого уровня — элементы шкалы (гиперконечной аппроксимации) с шагом $\varepsilon$. Ясно, что в этой шкале между $0$ и $\varepsilon$ чисел нет. Что касается $\frac12\varepsilon$, то это тоже число, но оно уже на другом уровне — например, в шкале с шагом $\varepsilon/2$. И на этой другой шкале $0<\frac12\varepsilon<\varepsilon$. Все элементарно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 17:26 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Тогда у нас не определены операции умножения и деления на таком множестве. Т.е. практической пользы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 17:30 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
venco в сообщении #293038 писал(а):
Тогда у нас не определены операции умножения и деления на таком множестве. Т.е. практической пользы нет.
Кто бы спорил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 19:31 


19/11/08
347
AGu в сообщении #293003 писал(а):
Далее... К сожалению, Ваша «идея» не нова. (Я здесь сожалею не Вам, а науке.) Мне очень не хочется популяризировать псевдонауку, но я вынужден упомянуть некую страничку, в конце которой Вы обнаружите ссылки на почти дословную реализацию Ваших «идей». Будучи уверенным в том, что содержимое тех ссылок покажется Вам оригинальным и красивым, сразу скажу, что эти «идеи» бесплодны и тривиальны.

Не важно нова или не нова, и не спешите обзывать тривиальным, то, чему вы не видите применения.
Я как раз хотел обсудить, новые возможности и раз уже есть другие материалы по этой теме, то о терминологии можно больше не спорить.

Прежде всего возникает вопрос:
А достаточно ли бесконечного числа разрядов в середине числа, чтоб задать любое действительное число?

Или этих разрядов даже избыточно?

Например можно рассмотреть, делимость действительных и рациональных чисел.
Но для этого надо знать количество разрядов в нашем бесконечном ряду.
Предположим, там столько разрядов, что это число делится на все без исключения натуральные числа.
Тогда, у числа 1/3 последний бит (в нашем представлении) равен единице (посольку в двоичном виде это 0.(01) ) а число всех разрядов - четное.

Так можно любой полином изучать с точки зрения его четности или делимости на другие числа...

Но, если число 1/3 умножить на три, то мы получим 0.(1) - это число точно не равно единице - значит все же недостаточно бесконечного числа знаков, для представления любого числа? (с абсолютной точностью)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный Нестандартный анализ
Сообщение27.02.2010, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):
0.(1) - это число точно не равно единице

Это число точно равно единице.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group