2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условие единственности
Сообщение03.02.2010, 13:50 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Задача связана с вопросом arseniv от 28.01.10. в разделе "Помогите решить..." о решении функционального уравнения $\xi \circ f=g\circ \xi \qquad (1)$В (1) $f$ и $g$ известные,а $\xi $-неизвестная функция.
Рассмотрим множество функций $[0,1]\to [0,1]$,для каждой из которых выполнено условие существования обратной функции.Считаем,что $f,g,\xi $ принадлежат этому множеству.Найти необходимое условие единственности решения уравнения (1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие единственности
Сообщение06.02.2010, 11:11 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Т.к необходимое условие в принципе определено не однозначно ,то уточню условие задачи:доказать,что если уравнение (1) имеет единственное решение,то $f(f(x))=g(g(x))\equiv x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие единственности
Сообщение17.02.2010, 11:00 


22/12/07
229
В случае $f=g$ всё довольно просто.
Решение уравнения $\xi f = f \xi$ всегда существует --- это $\xi = f^{-1}$.
Тогда из единственности имеем: $\xi f = f \xi$ $\Leftrightarrow$ $\xi = f^{-1}$.
Сама функция $f$ всегда является решением уравнения $\xi f = f \xi$, но тогда $f=f^{-1}$, т.е. $f f=e$.

-- Ср фев 17, 2010 11:32:37 --

А в случае $f\neq g$ решение такое:
$\xi f = g \xi$ $\Rightarrow$ $g \xi f f = g g \xi f$, то есть $\eta = g \xi f$ также будет решением уравнения $\eta f = g \eta$. В силу единственности $\xi = \eta$, то есть $\xi = g \xi f$.
Но из исходного уравнения имеем $\xi = g \xi f^{-1}$, откуда в силу обратимости элементов $f=f^{-1}$.
(Аналогично с $g$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие единственности
Сообщение17.02.2010, 17:43 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
nckg,да, все верно :),но пока задача была на форуме,я решил предложить еще одну задачу на тему этого уравнения:доказать,что если уравнение (1) имеет решение,то это решение не единственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условие единственности
Сообщение17.02.2010, 20:07 


22/12/07
229
Тогда продолжим. Пусть решение $\xi$ существует и единственно. Как было показано выше, тогда $\xi = g \xi f$, $f^{-1}=f$ и $g^{-1}=g$.
Обозначим $h=\xi f = g \xi$. Тогда
$$g h f = g \xi f f = g g \xi f,$$
$$g h f = \xi f = g \xi = h,$$
$$h f = g h,$$
то есть $h$ --- тоже решение уравнения (1). В силу предположенной единственности $h= \xi$, поэтому $\xi = \xi f = g \xi$, откуда $f = g = e$, после чего получаем противоречие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group