2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равенство коэффициента при производной нулю в СДУ
Сообщение31.01.2010, 14:49 
Экс-модератор
Аватара пользователя


07/10/07
3368
Я думаю, что я туплю, но у меня такой вопрос.

Пусть есть система дифференциальных уравнений вида
$$
\left\{ \begin{array}{l}
(1-f(t)) y'(t)=g_1 (t) x(t) + h_1(t) y(t) \\
(1-f(t)) x'(t)=g_2 (t) x(t) + h_2(t) y(t)
\end{array} \right.
$$
Все функции $f, g, h$ - периодичны с периодом $T$.

Существуют такие точки, в которых периодически $1-f(t)=0$. В этих точках получается, что оба уравнения становятся одинаковыми и из них следует $x(t)=y(t)$.

Что при этом можно сказать о решении системы в окрестности этих точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство коэффициента при производной нулю в СДУ
Сообщение03.03.2010, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Разумное ожидание, что решения уходят на бесконечность при приближении к точкам особенности. Либо все стремятся к нулю. То есть, вблизи этой точки существование, либо единственность, либо оба свойства исчезают. Рассмотрите модельный случай,
вида
$$ \left\{ \begin{array}{l} t y'(t)=g_1 x(t) + h_1 y(t) \\ tx'(t)=g_2  x(t) + h_2y(t) \end{array} \right. $$
в окрестности нуля.
Фундаментальная матрица решений имеет вид

$$t^G,$$
где $G$ -матрица коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство коэффициента при производной нулю в СДУ
Сообщение24.03.2010, 23:13 


16/03/10
212
Если пч уравнений поделить на $(1-f(t))$ получим линейную систему с периодическими коэффициентами $y'(t)=A(t)x(t)$ (в вашем примере $x$ --- двумерно. У вас еще при некоторых $t$ матрица $A$ стремится $\infty$. Даже если б не стримилось - и то ничего нельзя сказать. Для таких систем вопрос, например, об устойчивости решен в очень-очень жестких рамках (Есть статья Левина в УМН 60-х годов). Я даже формулировку вспомню, если надо. Но не слышал, чтобы там что-то улучшили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство коэффициента при производной нулю в СДУ
Сообщение12.04.2010, 17:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно искать решение системы в пределах одного периода в виде обобщенного степенного ряда,так как это делается ,например,для функций Бесселя (предположим,что $f(0)=1$):$x(t)=t^{\lambda }(a_0+a_1t+\cdots),y(t)=t^{\lambda}(b_0+b_1t+\cdots).$
Подставляя выражения для x и y в систему ДУ получим систему уравнений для определения коэффициентов $a_0,b_0$:
$$\left \{ \begin {array}{l}
g_1(0)a_0+(h_1(0)+\lambda f'(0))b_0=0 \\
(g_2(0)+\lambda f'(0) )a_0+h_2(0)b_0=0
\end {array}\right .$$
Показатель степени $\lambda $ является корнем уравнения $f'(0))^2\lambda ^2+f'(0)(g_2(0)+h_1(0))\lambda -g_1(0)h_2(0)=0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group