Парадокс или нет? (ТВ)

[faruk]

Рассмотрим очень длинную случайную последовательность равновероятных нулей и единиц. Если поинтересоваться содержанием в этой цепи секвенций (сегментов, фрагментов) "0000" и "0101", то оказывается, что их число будет примерно одинаковым.

Если теперь интересоваться только первой встретившейся секвенцией из двух упомянутых, прочесывая такие случайные последовательности нулей и единиц с начала, то окажется, что вероятность наткнуться на "0101" выше, чем вероятность наткнуться на "0000".

Вопрос касается чисто субъективной оценки:
Выглядит это на первый взгляд как парадокс, или нет?

[venco]

Если считать парадоксом внутреннее противоречие теории, то это не парадокс.
А если то, что противоречит интуиции, то оценка субъективна, и зависит от этой самой интуиции.
Мне, например, интуиция говорит, что 0101 встретится быстрее, т.к. выглядит более случайной последовательностью. И я знаю, что интуицию надо проверять.

[AKM]

faruk в сообщении #284642 писал(а):

... "0000" и "0101", то оказывается, что их число будет примерно одинаковым.

Цитата:

... то окажется, что вероятность наткнуться на "0101" выше, чем вероятность наткнуться на "0000".

Вижу два противоречащих друг другу утверждения (что не есть парадокс). Можно пояснить, чего я не улавливаю в Вашей беседе?

[Ираклий]

faruk в сообщении #284642 писал(а):

Вопрос касается чисто субъективной оценки:
Выглядит это на первый взгляд как парадокс, или нет?

С моей точки зрения, да! Весьма необычный факт. А как в этом убедиться?

-- Сб янв 30, 2010 22:48:15 --

Вероятность, что 01 встретится раньше, чем 00, насколько я могу судить, равна 1/2. Мне совсем не верится, что вероятность того, что 0101 встретится раньше, чем 0000, больше 1/2.

[faruk]

AKM в сообщении #284659 писал(а):

Вижу два противоречащих друг другу утверждения (что не есть парадокс).

А что тогда есть парадокс? Если задача Монти Холла имеет право называться парадоксом, то и мой пример тоже. Естественно, имеется в виду парадокс в переносном смысле – как что-то на первый взгляд противоречащее здравому смыслу.


Поэтому я и спрашиваю: кажется парадоксальным тот факт, что число секвенций одинаково, а вероятность натолкнуться на одну – больше, чем на другую, или не кажется?
Или наоборот: кажется парадоксальным тот факт, что вероятность натолкнуться на одну секвенцию больше, чем на другую, а число секвенций одинаково?

И если не кажется, то почему?

[ИСН]

В некоторой степени - да, кажется.
Там ещё в какой-то из близких формулировок была более крутая и парадоксальная фишка - "поражение по кругу"...

[AKM]

AKM в сообщении #284659 писал(а):

faruk в сообщении #284642 писал(а):

... "0000" и "0101", то оказывается, что их число будет примерно одинаковым.

Цитата:

... то окажется, что вероятность наткнуться на "0101" выше, чем вероятность наткнуться на "0000".

Я воспринял эти два утверждения примерно как $3<5$ и $3>5$ ("что не есть парадокс"). Первое считаю верным, второе --- неверным: любая четвёрка мне (интуитивно) предсталяется равновероятной. Вот я и предположил, что какой-то нюанс не уловил. Объяснения не получил и, уточню, не настаиваю: ТВ позабыл; возможно, как-то не так проинтерпретировал слово "наткнуться" или чего-то другого недопонял.

[faruk]

Ираклий в сообщении #284660 писал(а):

С моей точки зрения, да! Весьма необычный факт. А как в этом убедиться?

Вероятность, что 01 встретится раньше, чем 00, насколько я могу судить, равна 1/2. Мне совсем не верится, что вероятность того, что 0101 встретится раньше, чем 0000, больше 1/2.

AKM в сообщении #284672 писал(а):

Я воспринял эти два утверждения примерно как $3<5$ и $3>5$ ("что не есть парадокс"). Первое считаю верным, второе --- неверным: любая четвёрка мне (интуитивно) предсталяется равновероятной. Вот я и предположил, что какой-то нюанс не уловил. Объяснения не получил и, уточню, не настаиваю: ТВ позабыл; возможно, как-то не так проинтерпретировал слово "наткнуться" или чего-то другого недопонял.

Я попробовал на компьютере. Генерируем длиннющий стринг и, постоянно сдвигаясь на одну позицию вправо, смотрим, не образуют ли ближайшие четыре знака 0101 или 0000. И так проходим весь стринг, просчитывая количество тех и других. При этом оказывается, что их количество примерно одинаково.

А затем генерируем стринг наращивая его от одного знака до тех пор, пока не появится либо 0101, либо 0000. И так много раз. При этом стринги, заканчивающиеся на 0101 получаются в среднем короче, чем те, которые заканчиваются на 0000. То есть, вероятность первой встретить секвенцию 0101 получается выше, чем вероятность первой встретить секвенцию 0000.

[AlexDem]

faruk в сообщении #284676 писал(а):

А затем генерируем стринг наращивая его от одного знака до тех пор, пока не появится либо 0101, либо 0000. И так много раз. При этом стринги, заканчивающиеся на 0101 получаются в среднем короче, чем те, которые заканчиваются на 0000. То есть, вероятность первой встретить секвенцию 0101 получается выше, чем вероятность первой встретить секвенцию 0000.

Потому что 0101 это и 0101, и 1010 + 1. А 0000 - это только 0000.

[Maslov]

Легче это понять на более коротких образцах, например, 00 и 01.

Пусть
$m_0$ - среднее число шагов до появления $01$, если первая цифра последовательности равна $0$;
$m_1$ - среднее число шагов до появления $01$, если первая цифра последовательности равна $1$.

Тогда:
$m_0 = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 2 m_0$
$m_1 = 1 + \frac 1 2 m_0 + \frac 1 2 m_1 $.
Отсюда $m_0 = 3, m_1=5$, и для среднего числа шагов до появления $01$ имеем
$m=\dfrac {m_0+m_1} 2 = 4$

Аналогично для цепочки 00:

Пусть
$n_0$ - среднее число шагов до появления $00$, если первая цифра последовательности равна $0$;
$n_1$ - среднее число шагов до появления $00$, если первая цифра последовательности равна $1$
Тогда:
$n_0 = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 2 n_1$
$n_1 = 1 + \frac 1 2 n_0 + \frac 1 2 n_1$
Отсюда $n_0 = 5, n_1 = 7, n = 6$.

Т.о., средняя длина последовательности, оканчивающейся на 01, -- 4, а последовательности, оканчивающейся на 00, -- 6.

Вот здесь можно почитать: Секей Г. — Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (стр. 60 и дальше).

[AlexDem]

Сказал, потом понял, что не точно. Имелось в виду вот что. Рассмотрим 3 последние символа последовательности, возможны варианты:
a) 000
b) 001
c) 010
d) 011
e) 100
f) 101
g) 110
h) 111

Видно, что к последовательности нулей без полной "перемотки" ведут варианты a, c, e, g. А к последовательности с чередованием нулей и единиц - a, b, c, e, f, g.