решение уравнения в конечном поле

[Gilb007]

Всем привет! Хочу спросить у вас совета по поводу решения..

Условие: дано уравнение $x^3+2x+1=0$,его нужно решить в поле $GF(3^5)$

возможное решение:

Пусть $\beta \in GF(3^5)$ есть корень исходного уравнения.Всего три корня и они споряженны друг с другом.Т.е ${\beta},{\beta}^3,{\beta}^9.$
$(x-\beta)(x-{\beta}^3)(x-{\beta}^9)=0$.Раскроем скобки: $x^3+x^2(-{\beta}^3-{\beta}-{\beta}^9)+x({\beta}^{13}+{\beta}^{10})-{\beta}^{13}=0$.

Сравниваем с исходным,видим что ${-{\beta}^{13}=1}\to {{\beta}^{26}=1}$.Тоже самое,что найти число элементов порядка $26$ в поле $GF(3^5)$.

Смотрим какая у нас мультипликативная группа. Порядок её равен $242=2*11^2$.
Из того,что$ {\beta}^{26}=1$ нам подходит только мультиплакативная $1$ поля и элементы порядка $2$.Число элементов порядка $2$ равно $\varphi(2)=1$.
Итого:мультиплакативная $1$ поля и $ {\beta}^{121}$.

Теперь проверка. ${1^3+2*1+1=4=1(mod 3)} \neq 0$. $1$не подходит.
${({{\beta}^{121}})^3+2*({\beta}^{121})+1={\beta}^{121}+2*({\beta}^{121})+1=1} \neq 0$.Тоже не подходит,следовательно,решения уравнения $x^3+2x+1=0$ в поле $GF(3^5)$ не имеет.

Друзья,правильно?

[Sonic86]

Сам не спец, но вроде правильно.
Можно, наверное, вместо $\beta ^{121}$ писать $-1$, угадайте почему.

Gilb007 писал(а):

сопряженными будут $\beta , \beta ^3 , \beta ^9$

А это почему? Типа сопряженными являются $\beta ^{3^k}, 0 \leq k < \deg (f)$? Я просто не знаю. Объясните.

Ну еще можно формулу Кардано попробовать, если характеристика не помешает...

Кажись правильно! Можно взять $GF(3^5) \congr Z/g(x)$, где $g(x)$ - неприводимый многочлен степени 5 по модулю 3. Тогда если корень $P(t) = \sum\limits_{0 \leq j < 5} a_jt^j$, то поскольку 3 - характеристика, то свободный член $P^3(t)$ равен $a_0^3 = a_0$ и тогда решение уравнения в $GF(3^5)$ существует, если оно существует в $GF(3)$, то есть по модулю 3. А там его нету.

[Gilb007]

Цитата:

Можно, наверное, вместо $\beta ^{121}$ писать $-1$, угадайте почему.

Sonic86,согласен.Можно просто как равное $2$ записать.А возведение в квадрат даст $1$.

Цитата:

Цитата:

сопряженными будут $\beta , \beta ^3 , \beta ^9$

А это почему? Типа сопряженными являются $\beta ^{3^k}, 0 \leq k < \deg (f)$? Я просто не знаю. Объясните.

Есть такая теорема (см. Лидл, Нидеррайтер "Конечные поля"),что если ${\beta} \in F_{p^n} $ корень минимального многочлена степени $n$,то корнями будут также только сопряженные с ним,то бишь $\beta , \beta ^p , \beta ^{p^2},...,\beta ^{p^{n-1}}$.
По сути было доказано,что исходное уравнение не может быть минимальным многочленом,т.к корней он не имеет в этом поле.

Цитата:

Ну еще можно формулу Кардано попробовать, если характеристика не помешает...

Кажись правильно! Можно взять $GF(3^5) \congr Z/g(x)$, где $g(x)$ - неприводимый многочлен степени 5 по модулю 3. Тогда если корень $P(t) = \sum\limits_{0 \leq j < 5} a_jt^j$, то поскольку 3 - характеристика, то свободный член $P^3(t)$ равен $a_0^3 = a_0$ и тогда решение уравнения в $GF(3^5)$ существует, если оно существует в $GF(3)$, то есть по модулю 3. А там его нету.

К сожалению,формулу Кардано мы не изучали,но ваши рассуждения я примерно понял.Спасибо.

Я знаю на форуме есть маститые участники,что они скажут по поводу приведенного решения?

[Sonic86]

Теорему про сопряженные элементы нашел. Кардано не нужно. У Вас все правильно.