2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 21:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Не пользуясь теоремой Ферма для $n=3$, доказать, что уравнение $x^6+y^6=z^6$
неразрешимо в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 22:09 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
$x^6-1+y^6-1=z^6-1-1$.Левая часть делится на 7,а правая нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 22:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
mihiv
Вы это серьезно? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 22:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Ну,кроме случая $x=y=z=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 22:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
mihiv
А случай $x=7p$? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение16.01.2010, 22:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Да согласен,промашка вышла,это проходит только если 7 делит z или 7 не делит xyz.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение18.01.2010, 23:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Ввиду отсутствия постов в теме, все либо думают что задача слишком сложна, либо, что автор (т.е. я) ошибся и нашел неправильное решение.

Поэтому, чтоб было интереснее и исключить двусмысленности, дам небольшую подсказку:
Для решения задачи необходимо рассмотреть три случая:
1. Либо $7\ |\ z$, либо $7\not|\ xyz$.
2. $7\ |\ x=2k+1$.
3. $7\ |\ y=2m$.

Первый случай уже рассмотрен mihiv выше.

Случай 2:
1. Пусть $x$- нечетно и делится на $7$. Тогда
$x^6=z^6-y^6=(z+y)(z-y)(z^4+z^2y^2+y^4)$
2. Поскольку $x$ - нечетно, то числа в правой части взаимно просты, а поэтому являются также $6$-степенями:
$\begin{cases}
z+y=p^6\\
z-y=q^6\\
z^4+z^2y^2+y^4=x_1^6
\end{cases}
$
3. Решая систему первых двух уравнений, находим:
$\begin{cases}
2z=p^6+q^6\\
2y=p^6-q^6
\end{cases}
$
поэтому, если $pq$ не делится на $7$, то $2y=(p^6-1)-(q^6-1)\div7$ по малой теореме Ферма. Но тогда и $y$ также делится на $7$. Поэтому $7\ |\ pq$.
На этом подсказка окончена. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение19.01.2010, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
age в сообщении #281498 писал(а):
2. Поскольку $x$ - нечетно, то числа в правой части взаимно просты, а поэтому являются также $6$-степенями:

Только если $x$ не делится на три.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение19.01.2010, 11:49 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Коровьев
Мерси! В таком случае необходимо выделить случаи 4 и 5:
4. $7\ |\ x$ - нечетно, делится на 3.
5. $7\ |\ y$ - четно, делится на 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение19.01.2010, 21:28 


22/02/09

285
Свердловская обл.
age в сообщении #281498 писал(а):
На этом подсказка окончена.

Я даю следующую подсказку.
$z^4+z^2y^2+y^4=x_1^6$ или
$(z^2+y^2)^2=(x_1^3)^2+z^2y^2$ и,зная что для $n=2$
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$
$z^2+y^2=ab+b^2+a^2/2$.
а-число четное. Попробуйте решить систему уравнений ,учитывая делимость на 2 и Вы найдете,что $2^5k-a^2$ должна делится на $2^6$ ,где $k$ -число не четное)
Есть и другие варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение19.01.2010, 22:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Гаджимурат в сообщении #281733 писал(а):
$(z^2+y^2)^2=(x_1^3)^2+z^2y^2$ и,зная что для $n=2$
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$

Вот тут не совсем понятно. $n$ же вроде равно $6$? Откуда берется $x_1^3=ab+b^2$? Да и $zy=ab+a^2/2$ непонятно откуда взялось. Что за числа $a,b$?

Ах, ну да, кажется начинаю понимать! Вы рассмотрели уравнение как пифагорову тройку и предложили параметризацию как для сумм квадратов! Но все равно не понятно, откуда взялось
$x_1^3=ab+b^2$
$zy=ab+a^2/2$?
ведь
$x_1^3=a^2-b^2$
$zy=2ab$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение20.01.2010, 17:04 


22/02/09

285
Свердловская обл.
age в сообщении #281752 писал(а):
Но все равно не понятно, откуда взялось

На этом форуме я показал как выглядит структура чисел $xyz$ для любой простой степени $n$ (при условии,что ур-ние Ф. имеет решение в целых числах и
числа $xyz$ являются его решением), а $n=2$ является простым числом,поэтому полученные ур-ния удовлетворяют и вторую степень,т.есть:
$x=abcm+b^n/n$ (приняли,что $x$ делится на $n$).
$y=abcm+a^n$
$z=abcm+b^n/n+a^n$
Но,для второй и третьей степени $m=1$, а для четных степеней $c=1$,
поэтому для $n=2$
$x=ab+b^2$
$y=ab+a^2/2$
$z=ab+b^2+a^2/2$
Вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение20.01.2010, 18:32 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Доказательство случая 2 $(3\not| x,7|x)$ после подсказки age можно продолжить так:$7|pq$,предположим,что $7|q$,тогда $$z\equiv y(mod7)\qquad (1)$$По малой теореме Ферма $$x_1^6-p^6=z^4+z^2y^2+y^4-(z+y)\equiv 0(mod7)\qquad (2)$$Заменяя в сравнении (2) z на y ввиду (1),получим $3y^4-2y=y(3y^3-2)\equiv 0(mod7)$,отсюда $3y^3-2=3(y^3-1)+1=3(y^3+1)-5\qquad (3)$ делится на 7.
С другой стороны $y^6-1=(y^3-1)(y^3+1)$ делится на 7,поэтому на 7 делится $(y^3+1)$ или $(y^3-1).$Сравнивая с (3), получаем противоречие.
Случай $7|p$ рассматривается аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение21.01.2010, 14:31 


22/02/09

285
Свердловская обл.
mihiv в сообщении #281969 писал(а):
Заменяя в сравнении (2)

Можно еще короче: $3y^3-2$ или $9y^6-4$ делится на $7$,но
$y^6-1$ делится на 7,то и $9-4=5$, т.есть $5$ делится на $7$-противоречие найдено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка не для слабаков (частный случай теоремы Ферма)
Сообщение25.01.2010, 21:44 


05/02/07
271
age в сообщении #281110 писал(а):
Не пользуясь теоремой Ферма для $n=3$, доказать, что уравнение $x^6+y^6=z^6$
неразрешимо в целых числах.

Если использовать представления через пифагоровы тройки, то решение отнюдь не простое.
Смотри Lemm 5.1
http://www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/maths/jarvismeekin08-fermat-jnt3079.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group