2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Красивая задачка!
Сообщение07.06.2006, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Пусть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^2_{n} $ сходится. Что можно сказать о ряде :$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n} $ ?? :wink:
Эта задача была у нас на письменном экзамене по мат анализу. Решение приведу потом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2006, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Демидович № 2569. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2006, 12:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это очевидно. Второй ряд сходится абсолютно. Достаточно применить неравенство:
$$\sum_{k=1}^n |\frac{a_k}{k}|\le (\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} )^{1/2}(\sum_{k=1}^n a_k^2)^{1/2}<(\frac{\pi ^2}{6}\sum_{k=1}^n a_k^2 )^{1/2}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2006, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Именно так! :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2006, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Соббсно нет необходимости знать сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$
Следуем № 2569 - там написано:
Доказать, что если ряды $\sum_{k=1}^\infty a_k^2$ и $\sum_{k=1}^\infty b_k^2$ сходятся, то сходятся также ряды

$(1) \sum_{k=1}^\infty |a_kb_k|,
(2) (лень набирать)
(3)$ \sum_{k=1}^\infty \frac{|a_k|}{k}$

(1) ясно из неравенства $2|ab|\le a^2 + b^2$ и признака сравнения, а (3) - это лишь спецификация (1) для $b_k=\frac{1}{k}$

Хотя если убрать из предыдущего поста конкретность суммы $ \frac{\pi^2}{6}$, то это практически одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.06.2006, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
bot писал(а):
Соббсно нет необходимости знать сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$


Тем более что это связано с рядами Фурье и тождеством Бесселя.
:wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group