замкнутость суммы замкнутых подпространств

[nckg]

1. Задача. Пусть $H$ --- гильбертово пространство. Приведите пример замкнутых подпространств $K\subset H$ и $N\subset H$, сумма которых не является замкнутой.

Решение:

(Оффтоп)

См. здесь.
Там же приведён критерий замкнутости суммы замкнутых подпространств.

2. Вопрос. Рассмотрим теперь вместо $H$ пространство $X=\mathcal D'(\mathbb R)$. Существуют ли замкнутые подпространства $K,N\subset X$, сумма которых не является замкнутой? (подразумевается топология $\mathcal D'(\mathbb R)$)

[terminator-II]

nckg в сообщении #279579 писал(а):

1. Задача. Пусть $H$ --- гильбертово пространство. Приведите пример замкнутых подпространств $K\subset H$ и $N\subset H$, сумма которых не является замкнутой.

мы это обсуждали с ewert'ом надо искать. и критерий придумали: прямая сумма замкнутых подпространств замкнута iff угол между этими подпространствами ненулевой (если я правильно вспоминаю). это еще связано с непрерывностью операторов проектирования на одно пространство вдоль другого. но это и раньше здесь обсуждалось я видел. и пример где-то есть. искать надо.

[nckg]

terminator-II в сообщении #279596 писал(а):

прямая сумма замкнутых подпространств замкнута iff угол между этими подпространствами ненулевой (если я правильно вспоминаю)

Именно такой критерий и приведён в той статье, ссылку на которую я привёл. И про проекторы там есть.
Интересно, что будет в случае $\mathcal D'$. Там ведь ни угла, ни ортогональных проекторов нет...

[terminator-II]

хороший журнал. мы это в процессе светского трепа выяснили, а там это аж публикация. но дело даже не в этом: вне всякого сомнения все это известно очень давно, потому как является прямым следствием теоремы о замкнутом графике и наверняка содержится в каком-то толстом учебнике.

-- Mon Jan 11, 2010 22:25:23 --

terminator-II в сообщении #279601 писал(а):

Интересно, что будет в случае $\mathcal D'$. Там ведь ни угла, ни ортогональных проекторов нет...

там наверняка все тоже только в терминах непрерывности проекторов. теорема о замкнутом графике в локально выпуклых полных пространствах сохраняется

[nckg]

а как определить проектор в $\mathcal D'$?

[terminator-II]

также как в любом линейном пространстве. если $z=x+y\in Z=X\oplus Y$ то проектор на $P:Z\to X$ на $X$ вдоль $Y$ это $Pz=x$

[nckg]

не, ну такие-то проекторы там есть. Просто в гильбертовом случае используется ортогональность проектора.

[terminator-II]

nckg в сообщении #279610 писал(а):

не, ну такие-то проекторы там есть. Просто в гильбертовом случае используется ортогональность проектора.

в статье не знаю, у нас не использовалась.
Общий факт такой. Пусть $X,Y$ замкнутые подпространства в банаховом пространстве и $X\cap Y=\{0\}$. Тогда пространство $X\oplus Y$ замкнуто iff соответствующие проекторы $P_X:X\oplus Y\to Y$ и $P_Y:X\oplus Y\to X$ непрерывны.
Отсюда соответствующая теорема в терминах углов следует в гильбертовом случае

[nckg]

понятно, ну спасибо за информацию, буду тогда думать.