Проверка гильбертовости

[carpediem]

Известно, что из всех из пространств $L^p[0,1]$ гильбертовым является только $L^2[0,1]$.
Понятно, как проверять что остальные не гильбертовы, если p конкретное - просто ищем функцию, на которой не достигается равенство параллелограмма, но что делать, если требуется доказать тоже самое для всех p$\not =$2?
Если опять же пробовать подбирать функцию, то у меня получаются достаточно сложные уравнения на p, которые не решаются. Может существует какая-нибудь "хорошая" функция, на которой все просто, или надо доказывать как-то по-другому?

[Cave]

Например, это следует из того, что сопряжённым к $L^p$ является $L^q$, где $p,q>1, \frac 1 p + \frac 1 q = 1$.
Правда, я не уверен, что это проще доказывать, чем исходное утверждение.

[ewert]

carpediem в сообщении #279426 писал(а):

Может существует какая-нибудь "хорошая" функция, на которой все просто,

Возьмите в качестве первой функцию ступеньку: единица на левой половине отрезка и ноль на правой. А в качестве второй -- обратную ступеньку: ноль на левой половине и единица на правой. Нарушение при $p\in[1;+\infty],\ p\neq2$ будет очевидным.

[carpediem]

Спасибо большое)