2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конечный порядок элемента в группе C^*
Сообщение07.01.2010, 21:49 


12/05/09
68
Нижний Новгород
При каких $a, b \in \mathbb{Z}$ число $\frac{a+bi}{a-bi}$ имеет конечный порядок в $\mathbb{C^*}$?

Несложно убедиться в том, что $\left|\frac{a+bi}{a-bi}\right| = 1$, а значит при любых $a, b \in \mathbb{Z}$ элемент принадлежит группе корней из единицы (что необходимо для выполнения конечности порядка).

Далее, если элемент имеет конечный порядок, то должно существовать такое $n \in \mathbb{N}$, что $\left(\frac{a+bi}{a-bi}\right)^n = 1$.
$(a+bi)^n = (a-bi)^n$
$\cos(n \varphi) + i \sin(n \varphi) = \cos(n \varphi) - i \sin(n \varphi)$

В итоге имеем вполне ясное условие:
$\sin(n \varphi) = 0$, причем $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Как мне дальше найти такие конкретные $a$ и $b$? Условие указывает на то, что придется расписывать $\sin(n \varphi)$ через $\sin \varphi$, получится суровый полином, а дальше вообще не знаю что делать и как размышлять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечный порядок элемента в группе
Сообщение08.01.2010, 06:26 


18/05/09
34
Вроде получается $\cos \varphi = \frac {a^2-b^2} {a^2+b^2} $. Далее исследуйте вопрос о том, какие рациональные корни может иметь уравнение $\cos n\varphi = 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конечный порядок элемента в группе
Сообщение08.01.2010, 13:34 


02/07/08
322
Ryabsky
$a+bi$ и $a-bi$ равны с точностью до обратимого элемента.
Для доказательства рассмотрите разложение на простые $(a+bi)^n = (a-bi)^n$ в кольце $\mathbb{Z}[i]$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group