2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 выпуклый четырёхугольник
Сообщение01.01.2010, 21:31 


01/01/10
14
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике ABCD средняя линия, соединяющая середины противоположных сторон AB и CD, проходит через точку пересечения диагоналей, то данный четырёхугольник является параллелограммом или трапецией.

Обозначил точку пересечения диагоналей через О.
Будут ли треугольники АВО и СDO подобными?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение01.01.2010, 22:22 


02/07/08
322
Запишите отношение площадей $\bigtriangleup ABO$ и $\bigtriangleup CDO$ тремя способами, учитывая, что медиана делит площадь треугольника пополам.
Они будут подобными.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение01.01.2010, 22:47 


01/01/10
14
Cave в сообщении #276934 писал(а):
Запишите отношение площадей $\bigtriangleup ABO$ и $\bigtriangleup CDO$ тремя способами, учитывая, что медиана делит площадь треугольника пополам.
Они будут подобными.


тремя способами это как?

$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AO  \cdot BO \cdot\sin \angle AOB}{\frac{1}{2}\cdot CO  \cdot DO \cdot\sin \angle COD} =?$

И еще, если треугольники AOB и CDO подобны, то следует ли отсюда $AB \| CD $?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение02.01.2010, 03:02 


02/07/08
322
Про углы $AOB$ и $COD$ что можете сказать? Про площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$? Про углы подобных треугольников? Про признаки параллельности прямых?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение02.01.2010, 07:21 
Заслуженный участник


11/05/08
27804
Пусть $\vec a$ и $\vec b$ -- отрезки диагоналей (до точки пересечения), примыкующие к нижнему основанию и $\alpha\vec a$, $\beta\vec b$ -- отрезки, примыкающие к верхнему. Тогда соответствующие отрезки средней линии -- это ${1\over2}(\vec a+\vec b)$ и ${1\over2}(\alpha\vec a+\beta\vec b)$. Они параллельны, т.е. пропорциональны: $\gamma(\vec a+\vec b)=\alpha\vec a+\beta\vec b$. Такое возможно только при $\alpha=\beta$ -- ведь сами-то $\vec a$ и $\vec b$ не параллельны. Но тогда и основания ($\vec a-\vec b$ и $\alpha\vec a-\alpha\vec b$) -- тоже пропорциональны, т.е. параллельны.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение02.01.2010, 08:39 


21/06/06
1661
А можно и так.
Если M - середина стороны AB, то OM - медиана треугольника AOB, но OM и биссектриса (по свойству биссектрисы делить соответствующую сторону на отрезки пропорциональные сторонам, к которым она прилегает, а также с учетом того, что на любом отрезке существует одна и только одна точка, которая делит данный отрезок в данном отношении).
А следовательно треугольник AOB, равно как и COD - равнобедренный. И у этих двух треугольников углы при вершинах равны, как вертикальные, а далее дело техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение02.01.2010, 10:22 
Заслуженный участник


11/05/08
27804
Ну какая ж она биссектриса.

Но вот что можно. Доказать вспомогательное утверждение: если есть угол с вершиной в точке О и точка М внутри него, то существует ровно один способ выбора отрезка АВ с концами на сторонах угла, при котором отрезок ОМ будет медианой.

И поскольку разворот нижнего основания в положение, параллельное верхнему, оставляет линию средней -- то разворачивать и не придётся.

---------------------------------------
А ещё можно достроить треугольники сверху и снизу до двух подобных параллелограммов. Средняя линия превратится в их общую диагональ и т.д.. Наверное, так даже лучше всего, только рисунок более громоздкий.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение02.01.2010, 10:45 


21/06/06
1661
Ну так об этом то и речь, что если между сторонами некоторого угла провести прямую p, которая не является его биссектрисой, то тогда любая прямая, проведенная через некоторую точку прямой p (если O - точкая через которую эта прямая проведена, а A и B - точки пересечения этой прямой со сторонами данного угла), то тогда середина AB не будет биссектрисой, если OA=OB.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение06.01.2010, 09:50 


01/01/10
14
Cave в сообщении #276976 писал(а):
Про углы $AOB$ и $COD$ что можете сказать? Про площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$? Про углы подобных треугольников? Про признаки параллельности прямых?



Пусть $M$ и $N$ соответственно середины отрезков $AB$ и $CD$.
Углы $ AOB$ и $ COD$ будут равными.
Площади маленьких треугольников, на которые средняя линия четырёхугольника разбивает треугольники $AOB$ и $COD$ так же будут равными, т.е. $S_{\Delta AOM}=S_{\Delta BOM}$ и $S_{\Delta CON}=S_{\Delta DON}$. Но вроде отсюда же не следует подобие треугольников $\Delta  AOB$ и $\Delta  DOC$?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение06.01.2010, 13:35 


02/07/08
322
Pifi
Пока нет, теперь вернитесь к тому, что я написал в первом сообщении: запишите отношение площадей тремся способами. Потом приравняйте, сделайте из этого вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение06.01.2010, 14:07 


01/01/10
14
Cave в сообщении #277921 писал(а):
Pifi
запишите отношение площадей тремся способами


вот это мне и не очень понятно.

1 способ
$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AO  \cdot BO \cdot\sin \angle AOB}{\frac{1}{2}\cdot CO  \cdot DO \cdot\sin \angle COD}=\frac{ AO  \cdot BO}{CO  \cdot DO }$ т.к. $\angle AOB=\angle COD$;

2 способ
$\frac{S_{\Delta ABO}}{S_{\Delta CDO}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AB  \cdot h_1 }{\frac{1}{2}\cdot CD \cdot h_2}=\frac{AB  \cdot h_1 }{CD \cdot h_2}$;

3 способ
?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение06.01.2010, 14:27 
Заслуженный участник


11/05/08
27804
Госсподи, да нарисуйте же Вы напрашивающиеся параллелограммчики -- $AOBP$ и $CODQ$. И докажите, что они подобны. Всё сразу станет очевидным.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение06.01.2010, 14:36 


02/07/08
322
Pifi
Нет, я имел в виду, что $\frac {S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta COD}} = \frac {S_{\Delta AOM}}{S_{\Delta CON}} = \frac {S_{\Delta BOM}}{S_{\Delta DON}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение07.01.2010, 12:34 


01/01/10
14
ewert в сообщении #277937 писал(а):
Госсподи, да нарисуйте же Вы напрашивающиеся параллелограммчики -- $AOBP$ и $CODQ$. И докажите, что они подобны. Всё сразу станет очевидным.


т.е. параллелограммы $AOBP$ и $CODQ$ будут подобны, т.к. у них все углы равны. Следовательно, треугольники $ABO$ и $CDO$ тоже будут подобны. Из равенства углов, например, $ABO$ и $CDO$, получаем, что $AB \| CD$. Т.о., $ABCD$ - трапеция. Можно ли считать, что доказательство полное? или еще надо доказывать, что $ABCD$ м.б. и параллелограммом?

 Профиль  
                  
 
 Re: выпуклый четырёхугольник
Сообщение07.01.2010, 12:55 
Заслуженный участник


11/05/08
27804
Pifi в сообщении #278194 писал(а):
т.е. параллелограммы $AOBP$ и $CODQ$ будут подобны, т.к. у них все углы равны.

Нет, равенства только углов недостаточно, нужно ещё и равенство соотношений сторон. Но вот что очевидно -- что подобны боковые треугольники в этих параллелограммах, $OAP$ и $QDO$ (по трём параллельным сторонам). А тогда уж и параллелограммы в целом подобны -- и, следовательно, подобны и треугольники $AOB$ и $COD$, и потому $AB$ параллельно $CD$.

Pifi в сообщении #278194 писал(а):
или еще надо доказывать, что $ABCD$ м.б. и параллелограммом?

Зачем? Слова "параллелограмм или трапеция" ровно и означают, что какие-либо две противоположные стороны параллельны, не более и не менее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group