Экспоненциально-эллиптические интегралы...

[VladTK]

Всем здраствуйте.

Столкнулся с необходимостью взять неопределенные интегралы вида:

$$ \int \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx $$

$$ \int \sqrt{1-a_1 x^2-a_2 x^3} e^{b x} dx $$

$$ \int \sqrt{1-a_1 x^2-a_2 x^3-a_3 x^4} e^{b x} dx $$

Имеются ли какие-либо результаты по таким интегралам? Сам попробовал посчитать первый интеграл. Рассуждал примерно так. Обозначим

$$ F(x,b)=\int \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx $$

Продифференцируем F(x,b) по b

$$ \frac{\partial F}{\partial b}=\int x \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx $$

Проинтегрируем по частям, взяв за дифференциал $ x \sqrt{1-x^2} dx $

$$ \frac{\partial F}{\partial b}=-\frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} e^{b x} + \frac{b}{3} \int (1-x^2)^{3/2} e^{b x} dx $$

Интеграл справа распишем в виде

$$ \int (1-x^2)^{3/2} e^{b x} dx =\int (1-x^2) \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx=\int \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx-\int x^2 \sqrt{1-x^2} e^{b x} dx $$

или

$$ \int (1-x^2)^{3/2} e^{b x} dx =F-\frac {\partial^2 F}{\partial b^2} $$

Таким образом получим

$$ b \frac {\partial^2 F}{\partial b^2}+3 \frac{\partial F}{\partial b}-b F=-(1-x^2)^{3/2} e^{b x} $$

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения выражается как сумма решения однородного уравнения и частного решения. Однородное уравнение

$$ b \frac {\partial^2 y}{\partial b^2}+3 \frac{\partial y}{\partial b}-b y=0 $$

имеет решение в виде модифицированных функций Бесселя 1-го порядка

$$ y(b)=C_1 I_1(b)/b+C_2 K_1(b)/b $$

где $ C_1,C_2 $ - произвольные константы.

Частное решение также можно известным образом выразить через решения однородного уравнения и общее решение нашего уравнения можно записать

$$ F(x,b)=C_1 I_1(b)/b+C_2 K_1(b)/b-(1-x^2)^{3/2} \frac{I_1(b)}{b} \int \frac{K_1(b)}{b} \frac{e^{bx}}{W} db+(1-x^2)^{3/2} \frac{K_1(b)}{b} \int \frac{I_1(b)}{b} \frac{e^{bx}}{W} db $$

где $ W=1/b^2 $ - Вронскиан решений однородного уравнения. Таким образом, задача свелась к взятию интегралов

$$ \int b I_1(b) e^{bx} db $$

$$ \int b K_1(b) e^{bx} db $$

Интегралы обобщают табличные, типа

$$ \int b I_1(b) e^{b} db=\frac{b^2}{3} e^b (I_1(b)-I_2(b)) $$

но чему они равны мне не известно.

Что касается "старших" интегралов, то мне пока вообще не ясно как к ним подобраться. Если кому-то известно что-либо по данной теме буду очень рад услышать.