2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упростить условие
Сообщение28.05.2006, 23:37 


06/04/06
20
Здравствуйте!

Нужно найти способ оптимального нахождения четвёрок натуральных чисел $(a,b,c,d)$, что $a, b, c, d$ взаимно просты, $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$, и при заданном $n$ выполняется условие 1 \leq a < c  \leq d < b \leq n. Нужно находить такие чётверки для достаточно больших $n$. Поэтому вопрос: можно ли свести данное условие к эквивалентному, но более простому, чтобы можно было реализовать некий эффективный алгоритм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упростить условие
Сообщение31.05.2006, 06:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
questioner в сообщении #21167 писал(а):
Нужно найти способ оптимального нахождения четвёрок натуральных чисел $(a,b,c,d)$, что $a, b, c, d$ взаимно просты, $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$, и при заданном $n$ выполняется условие 1 \leq a < c \leq d < b \leq n.

Последнее условие излишне. Дело в том, что без потери общности можно считать, что $a$ и $c$ - наименьшие числа в парах и что $a<c$. Тогда указанное условие выполняется автоматически.

А по сути задача сводится к нахождению различных разложений числа $m$ в сумму двух квадратов (два таких разложения с взаимно-простыми компонентами и дадут искомую четверку). Это довольно просто в случае, когда известно разложение $m$ на простые. Но и в случае, когда оно неизвестно, кое-что можно (попытаться) сделать. Есть готовый ява-апплет, разлагающий заданное $n$ в сумму квадратов, с подробным описанием метода.

Кроме того, есть формула (номер 17), дающая количество различных разложений $m$ в сумму двух квадратов. Понятно, что для получения искомой четверки, таких разложений должно быть как минимум 2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2006, 07:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
А условие взаимной простоты чисел?
На самом деле на задачу можно рассмотреть как нахождение гауссовых целых чисел с заданной нормой. Соответственно этот подход дает ответ и на вопрос о возможности нахождения с взаимно простыми разложениями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group