Тригонометрическое решение уравнения 3-й степени получается из формул для тройного угла:

, либо

.
Для четырёх-кратного угла существует формула:

.
Предлагаю совместно поискать такую замену неизвестного в уравнении 4-й степени, чтобы оно свелось к аналогу правой части формулы четырёх-кратного угла. Нужна замена с тремя параметрами, т.к. три уравнения получатся, либо цепочка из трёх замен. Безуспешно перебрал разные варианты замен неизвестного, просто возможно я не все способы замен знаю.