2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Туэ uv(u+v)=1 и ВТФ для тройки
Сообщение25.11.2009, 13:23 


05/02/07
271
Очевидно, что если существуют целые решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, то существуют рациональные решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$.
Несложно видеть, что если существуют рациональные решения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$, $xy\ne 0$, то существуют рациональные решения уравнения $uv\left( u+v \right)=1$.
Действительно, если $x$ и $y$, $xy\ne 0$, рациональные решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$, то несложно видеть, что $u={{{y}^{2}}}/{x}\;$, $v={-1}/{xy}\;$ – рациональные решения уравнения $uv\left( u+v \right)=1$.
Очевидно, что уравнение $uv\left( u+v \right)=1$ не имеет решений в целых числах, что легко доказать, пользуясь любимым приемом ферматиков, проверяя на четность/нечетность числа $u$ и $v$. :D

Можно ли утверждать, что уравнение Туе $uv\left( u+v \right)=1$ не имеет рациональных решений?
Можно ли утверждать, что уравнение Туе $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$, где $k$ - любое целое число, не имеет целых решений?

Переход от ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$ к $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$ очевиден. Действительно, если $x$ и $y$, $xy\ne 0$, целые решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, то ${{x}^{3}}{{y}^{3}}\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)={{k}^{3}}$, где $k=xyz$. Тогда $u={{x}^{3}}$, $v={{y}^{3}}$ будут целыми решениеми уравнения $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$.

Замечание 1.
Переход $uv\left( u+v \right)=1$ или $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$ забавен тем, что мы избавляемся от тривиальных решений уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, , т.е когда $xyz=0$.
Эти тривиальные решения очень мешаются – они прилипают и от них надо отделаться. Мне сдается, что отлепив их, доказывать, что некоторое уравнение не имеет решений намного проще. :D

Замечание 2.
Уравнение Туе $uv\left( u+v \right)=1$ эквивалентно уравнению ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$, т.е. уравнению Морделла. Специалисты по кривулькам Морделла это подтвердят, ибо уравнение ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ – это вид кривой $uv\left( u+v \right)=1$ в минимальной форме Вейерштрасса.

Можно ли утверждать, что уравнение Морделла ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет рациональных решений?

Специалисты по кривулькам Морделла могут написать вид взаимно однозначных рациональных преобразований кривой $uv\left( u+v \right)=1$ в кривую ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$. Заметим, что уравнение ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет решений в целых числах. Доказывается элементарными методами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Туэ uv(u+v)=1 и ВТФ для тройки
Сообщение29.01.2010, 06:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
grisania в сообщении #265214 писал(а):
Можно ли утверждать, что уравнение Морделла ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет рациональных решений?

У этого уравнения два решения $(V,U)=(\pm 4,0)$, которые вместе с бесконечно удаленной точкой образуют подгруппу кручения группы точек этой кривой. Ну а так как ранг кривой равен 0, то других решений нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group