ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов

[fraktal]

Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов.
желательно без всяких там пространств

[gris]

Попробуйте для начала привести их к ступенчатому виду. А потом посмотреть, как можно располагать строки для сложения.

[ewert]

fraktal в сообщении #264452 писал(а):

Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы их рангов.желательно без всяких там пространств

боюсь, что без "подпространств" -- выйдет безыдейно и бессмысленно. А с оными -- тривиально. Каждая из строчек первой матрицы есть линейная комбинация некоторых $r_1$ фиксированных строчек, где $r_1$ -- это ранг той матрицы (согласно одному из эквивалентных определений ранга). Соотв., и для второй. Следовательно, любая строчка суммы этих матриц есть комбинация некоторых $r_1+r_2$ фиксированных строчек. Т.е. независимых среди них -- не более $r_1+r_2$. Ч.т.д.

[fraktal]

$rank((A+B)_{m\times n})=rank((A+B)_1,...,(A+B)_n)$
пусть $A_1, A_2,...,A_j $-базис системы$ A_1, A_2,...,A_n $ то есть $rank(A)=j$
а $B_1, B_2,...,B_i $-базис системы$ B_1, B_2,...,B_n $, то есть $rank(B)=i$
тогда каждый вектор системы $(A+B)_1,...,(A+B)_n$ разлагается по системе $A_1, A_2,...,A_j, B_1, B_2,...,B_i \Rightarrow rank((A+B)_1,...,(A+B)_n)\leqslant rank(A_1, A_2,...,A_j, B_1, B_2,...,B_i)\leqslant i+j$ ч.т.д.

[fraktal]

где-то в таком духе надо теперь доказать, то если $A_{m\times n} B_{n\times l}=0$, то $rank(A)+rank(B)\leqslant n$
не понимаю, что дает условие касательно рангов матриц $A$ и $B$

[ewert]

Ранг $r_A$ матрицы $A$ -- это, помимо всего прочего, размерность её "образа", т.е. того множества, которое получается умножением этой матрицы на всевозможные $n$-мерные столбцы. С другой стороны, каждый столбец матрицы $B$ -- это элемент "ядра" матрицы $A$, т.е. такой, что при умножении на него матрицы $A$ получается ноль. Соответственно, ранг $r_B$ матрицы $B$ -- количество её независимых столбцов -- не превосходит размерности ядра $A$. Однако размерность ядра плюс размерность образа -- это всегда размерность пространства, т.е. $n$.