2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональный анализ (замкнутость подмножеств)
Сообщение24.05.2006, 16:53 


10/06/05
100
Тюмень
Здравствуйте. Нужна небольшая помощь по функциональному анализу.
Нужно доказать, что любое подмножество метрического пространства
X является замкнутым.
\[
X = \mathbb{N}
\]
\[
\rho (n,m) = \left| {\frac{1}
{n} - \frac{1}
{m}} \right|
\]
Для начала хотелось бы прояснить определение предельной точки множества.
Любая \[
\varepsilon 
\]-окрестность предельной точки \[
x_0 
\] множества X содержит
\[
\infty 
\] точек из X. Значит ли это, что для всех точек \[
x
\] из указанной
окрестности выполняется \[
\rho (x_0 ,x) = \left| {\frac{1}
{{x_0 }} - \frac{1}
{{x}}} \right| < \varepsilon 
\]? С указанной метрикой я не вижу предельных точек
множества X(мн-во натуральных чисел). Значит, они все изолированые? А если все точки множества
изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто? Вот такие
простые вопросы. Заранее спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение24.05.2006, 16:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
\[
\rho (n,m) = \left| {\frac{1}
{n} - \frac{1}
{m}} \right|>\frac{1}{n(n+1)},n\not =m
\]

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение24.05.2006, 17:47 


06/11/05
87
Николай писал(а):
Для начала хотелось бы прояснить определение предельной точки множества.
Любая \[
\varepsilon 
\]-окрестность предельной точки \[
x_0 
\] множества X содержит
\[
\infty 
\] точек из X. Значит ли это, что для всех точек \[
x
\] из указанной
окрестности выполняется \[
\rho (x_0 ,x) = \left| {\frac{1}
{{x_0 }} - \frac{1}
{{x}}} \right| < \varepsilon 
\]? С указанной метрикой я не вижу предельных точек
множества X(мн-во натуральных чисел). Значит, они все изолированые? А если все точки множества
изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто? Вот такие
простые вопросы. Заранее спасибо за помощь.

Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка \[
x_0 
\] самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности \[
x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots
\]
Все точки получаются изолированные, т.к. очевидно выполняется неравенство записанное выше Рустом. Но данное пространство не содержит всех своих предельных точек, так например, последовательность 1,2,3,....n,... является очевидно фундаментальной в этом пространстве, но не сходящейся. Похоже что замкнутыми будут все ограниченные подмножества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение24.05.2006, 19:40 


10/06/05
100
Тюмень
Trueman писал(а):
так например, последовательность 1,2,3,....n,... является очевидно фундаментальной в этом пространстве, но не сходящейся.
Этот пример я использовал при доказательстве того, что X непольное. Но почему из этого следует, что
Цитата:
данное пространство не содержит всех своих предельных точек
?
Каждая точка X изолированная (это так) и при этом предельная? Честно говоря, мне всегда казалось, что изолированная точка не может быть предельной и наоборот :oops: . Приведите тогда, пожалуйста, пример предельной точки X, не пренадлежащей X.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение24.05.2006, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Trueman писал(а):
Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка \[
x_0 
\] самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности \[
x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots
\]


Точка $x_0$ называется предельной точкой множества $M$, если в каждой окрестности точки $x_0$ имеется точка множества $x\in M$, не совпадающая с $x_0$.

При этом точка $x_0$ не обязана принадлежать множеству $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение24.05.2006, 23:48 


06/11/05
87
Someone писал(а):
Trueman писал(а):
Предельные как предел последовательности. Поэтому всякая точка \[
x_0 
\] самого метрического пространства уже заведома предельная точка этого пространства, как предел последовательности \[
x_0 , x_0, \ldots,x_0\ldots
\]


Точка $x_0$ называется предельной точкой множества $M$, если в каждой окрестности точки $x_0$ имеется точка множества $x\in M$, не совпадающая с $x_0$.

При этом точка $x_0$ не обязана принадлежать множеству $M$.

Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества, а пример предельной точки не принадлежащей данному пространству, это я так понимаю точка обозначаемая \infty

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение25.05.2006, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Trueman писал(а):
Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества,


Не понял, причём тут ограниченные множества. В том метрическом пространстве, о котором был вопрос, все множества ограничены, поскольку расстояние между любыми двумя точками меньше 1.
Отсутствие предельных точек у топологического пространства и означает, что в нём все подмножества замкнуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение25.05.2006, 00:39 


06/03/06
150
Николай писал(а):
Значит, они все изолированые?


Да. Руст привел неравенство, из которого это следует.

Николай писал(а):
А если все точки множества изолированые, значит ли это, что любое его подмножество замкнуто?


Очевидно, да. Если множесство совпадает со всем пространсством, как в рассматриваемом примере. Для понимания этого надо знать определение изолированной точки и определение замкнутого множества. В этом проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с простой задачей по ФА (замкнутость подмножест
Сообщение25.05.2006, 02:54 


06/11/05
87
Someone писал(а):
Trueman писал(а):
Да верно, то что я написал это описывает точки прикосновения, не предельные точки, а предельных у дискретного пространства в самом пространстве нет.
Но правда всё равно замкнутые множества так и остануться лишь ограниченные множества,


Не понял, причём тут ограниченные множества. В том метрическом пространстве, о котором был вопрос, все множества ограничены, поскольку расстояние между любыми двумя точками меньше 1.
Отсутствие предельных точек у топологического пространства и означает, что в нём все подмножества замкнуты.

Ограниченные всмысле отношения естественного порядка заданного на множестве натуральных чисел. Проще говоря, лишь конечные подмножества будут замкнутыми в этом метрическом пространстве. Но это верно если рассматривать, $\mathbb N \subset \mathbb N \cup \{\infty \}$. :) А в данном примере все подмножества замкнутые, извеняюсь за то что пытлся тут невольно ввести в заблуждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 09:26 


10/06/05
100
Тюмень
er писал(а):
Для понимания этого надо знать определение изолированной точки и определение замкнутого множества. В этом проблема?
Эти определения я знаю. Главная проблемма была в доказательстве изолированности всех точек (за что большое спасибо Русту). Благодарю всех за помощь.
Заодно спрошу - не посоветуете книгу, в которой есть разобранные решения подобной и других задач по функциональному анализу. Я пользуюсь (помимо Колмогорова, Фомина) книгой Городецкий "Методы решения задач по ФА". Помогает, но не всегда. Может есть что-то лучше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.05.2006, 02:07 


06/03/06
150
Николай писал(а):
Заодно спрошу - не посоветуете книгу, в которой есть разобранные решения подобной и других задач по функциональному анализу. Я пользуюсь (помимо Колмогорова, Фомина) книгой Городецкий "Методы решения задач по ФА". Помогает, но не всегда. Может есть что-то лучше?


Эта задача скорее по топологии, чем по ФА. В учебнике Энгелькинга Общая топология есть задачки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group