2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решить в натуральных числах 3 sigma(n) = 4n + 79
Сообщение24.05.2006, 10:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Решить уравнение в натуральных числах:
$3\sigma (n)=4n+79.$
Здесь $\sigma (n)$ сумма всех (включая $1$ и само $n$) делителей числа $n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2006, 13:28 


12/02/06
110
Russia
Для четных и простых решений нет.
Это доказывается легко.
А вот для нечетных составных подумать нужно немножко.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2006, 14:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
vbn писал(а):
Для четных и простых решений нет.
Это доказывается легко.
А вот для нечетных составных подумать нужно немножко.

Докажите свое неверное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2006, 21:16 


24/05/06
1
Беларусь, Минск
Если n=2, то (4*2+79) никак не равно 3*(1+2)

Если n - простое число, отличное от 2, то

1. левая часть равенства - четная.
т.к. (1 + n) - чётно

2. правая часть равенства - не чётная.
т.к. 4*n - четно, а 4*n+79 уже не чётно.

вывод: n не является простым числом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.05.2006, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Дарида писал(а):
Если n=2, то (4*2+79) никак не равно 3*(1+2)

Если n - простое число, отличное от 2, то

1. левая часть равенства - четная.
т.к. (1 + n) - чётно

2. правая часть равенства - не чётная.
т.к. 4*n - четно, а 4*n+79 уже не чётно.

вывод: n не является простым числом.

на счёт n-чётного - то это возможно только если n - квадрат какого-нибудь числа.

Можно доказать более общее утверждение:
$n$ не может быть никакой степенью одного простого числа.
Действительно, легко показать, что $n\equiv{-1}\pmod{3}$. Пусть $n=p^k$, $p\equiv{1}\pmod{2}$.
Если $p^k\equiv{-1}\pmod{3}$, то $p\equiv{-1}\pmod{3}$ и $k\equiv{1}\pmod{2}$.
Значит $\sigma(p^k)=1+p+p^2+p^3+...+p^k\equiv{0}\pmod{2}$, но $4p^k+79\equiv{1}\pmod{2}$.
Если $n=2^k$, то $3\frac{2^{k+1}-1}{2-1}=4\cdot 2^k+79$, отсюда $2^{k+1}=82$, что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 05:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Наверное я опять что-то пропустил в условии.

Если $p$ -- простое, то для любого $n = p^k$ имеем $3 \sigma(n) = 3 \frac{p^{k+1}-1}{p-1} = 3 \frac{n p - 1}{p-1} = 4 n + 79$. Откуда $n = \frac{76 - 79 p}{p -4}$. При $p$ большем $4$ дробь отрицательна, при $2$ и $3$ величина $n$ не является степенью соответствующего простого $p$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 06:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Можно показать, что число $n$ не может быть произведением двух простых чисел без степени, т.е. $n=ab$, $a,b-$ простые.
Действительно, $\sigma(ab)=a+b+ab+1$. Было показано, что $n=3k-1$, тогда искомое равенство $3\sigma(n)=4n+79$ преобразуется к виду $\sigma(3k-1)=3k-1+k+26$. Пусть $3k-1=ab$, тогда $a+b+1=k+26$. Приходим к уравнению $a+b-\frac{ab+1}{3}=25$, которое невозможно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 07:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Очень похоже, что 50 -- единственное решение.

руст: -- пожалуйста, дайте еще подумать. Не отнимайте у людей удовольствие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Из делимости на 2: $\sigma(n)$ нечётно. Это что значит? Что все нечётные простые в него входят в чётных степенях, in other words, что $n=2^k\cdot m^2$
Из делимости на 3: $n=2\pmod{3}$. А известно, что $m^2=1\pmod{3}$. Значит что? Значит, хоть одна двоечка в $n$ у нас есть. Тогда сразу $\sigma(n)\ge{3\over 2}n$,
$3\sigma(n)-4n\ge{1\over 2}n$,
что даёт верхнюю оценку для $n$.
Осталось перебрать даже не десяток чисел - и всё, $\qed$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле логически (без перебора вариантов) можно получить, что единственное решение $n=50$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да понятно, что можно как-то. Мне после этого стало неинтересно, потому что с перебора-то я, понятное дело, начал (а то зачем компу стоять без дела? Он железный, пусть считает).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 15:44 


12/02/06
110
Russia
Руст писал(а):
vbn писал(а):
Для четных и простых решений нет.
Это доказывается легко.
А вот для нечетных составных подумать нужно немножко.

Докажите свое неверное утверждение.


Вношу поправочку :oops: , решений нет для четных больших 140.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 19:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле вначале для $n=2q^2$ получаем оценку $q\le 13$, подставив эту оценку уточняем заново $q<7$. Так как $q$ не делится на $3$, остаётся только $q=5$ или $n$ степень двойки (что легко отвергается) и остается единственная возможность $q=5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в натуральных числах
Сообщение25.05.2006, 20:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Усложню задание. Существуют ли целые числа $a,b,c$, что уравнение в натуральных числах:
$a\sigma (n)=bn+c.$
имеет бесконечное количество решений?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.05.2006, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ну вот, пока добирался до компьютера, все уже решили.
Руст, а как быть с тривиальным $a,b,c=1$, $n - $ простое число?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group