Ограниченность функции h(f(x),g(x))

[zuj]

Доброго времени суток всем!

Тако вопрос ... всегда ли верно утверждение, что если $f(x)$ и $g(x)$ ограниченные непрерывные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то и $h(f(x),g(x))$ тоже будет ограниченной функцией?
Если ответ утвердительный, то можно подсказку где про это почитать.

Заранее багодарен за помощь.

[Хорхе]

$h$, надо полагать, непрерывна?

Если да, то да, теорема Вейерштрасса.

[zuj]

Хорхе в сообщении #263449 писал(а):

$h$, надо полагать, непрерывна?

Да $h$ должна быть непрерывной функцией.
Спасибо, надо будет освежить в памяти эту теорему ...

[ewert]

, причём непрерывность $f$ и $g$ для ограниченности $h$ не нужна

[zuj]

Если подразумевалась следующая теорема Вейерштрасса

Цитата:

In calculus, the extreme value theorem states that if a real-valued function $f$ is continuous in the closed and bounded interval $[a,b]$, then $f$ must attain its maximum and minimum value, each at least once. That is, there exist numbers $c$ and $d$ in $[a,b]$ such that:

$f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad\text{for all }x\in [a,b].$

A related theorem is the boundedness theorem which states that a continuous function $f$ in the closed interval $[a,b]$ is bounded on that interval. That is, there exist real numbers $m$ and $M$ such that:

$m \le f(x) \le M\quad\text{for all }x \in [a,b].$

The extreme value theorem enriches the boundedness theorem by saying that not only is the function bounded, but it also attains its least upper bound as its maximum and its greatest lower bound as its minimum.

то у меня немного другой вопрос. В моем случае $x\in(-\infty,\infty)$.

Но тут как мне кажется ничего нельзя утверждать наверняка. Что-то стал склоняться в сторону отрицательного ответа.

[ewert]

Ваш вопрос в одну сторону другой, а в другую -- ровно тот самый.

В наиболее общем варианте теорема Вейерштрасса выглядит так: если функция задана на компакте и непрерывна, то она там ограничена, причём её минимум и максимум достигаются.

Если количество аргументов конечно, то "компакт" -- это ограниченное замкнутое множество (в $\mathbb R$ или $\mathbb R^n$); например, отрезок на оси или квадрат на плоскости.

Если Ваши функции $f$ и $g$ ограничены, то после навешивания на них функции $h$ интересуют, собственно, лишь значения последней на некотором ограниченном множестве, образованном множествами значений двух первых функций. Это множество уж всяко погружено в некоторый замкнутый квадрат, на котором $h$ ограничена -- по теореме Вейерштрасса.

[zuj]

Ух ты!

Прямо разжевали и в рот положили

Большое спасибо!

[zuj]

Как говорится чтобы закрепить пройденный материал. Рассмотрим следующий пример.

Пусть $f(x)\equiv const$ для простоты положим $f(x)=1$ и $g(x)=\exp^{-x^2}$. Обе функции являются ограниченными при $x\in(-\infty,\infty)$.
Теперь определим функцию $h(f(x),g(x))=\frac{f(x)}{g(x)}=1/\exp^{-x^2}=\exp^{x^2}$, которая хоть и является непрерывной, но уже не будет ограниченной на интервале $(-\infty,\infty)$.

Ткните пожалуйста пальцем в какой момент кривая рассуждений завела меня не туда.

[ewert]

Функция $h(u,v)$ не является непрерывной -- у неё разрывы при $v=0$.