Проверка множества на свойства (функан)

[ShMaxG]

Дано множество:

$\[\left\{ {x \in C\left[ {0,1} \right]\left| {x\left( t \right) = \sqrt t \cos \frac{a} {t},a \in \left[ {0,1} \right],t \in \left( {0,1} \right]} \right.} \right\}\]$

Нужно проверить его на ограниченность, замкнутость, вполне ограниченность и компактность.

Ну с ограниченностью все понятно.

А насчет замкнутости не знаю. Тут уже была похожая тема, но ответа ewert'a к ней я, честно говоря, вообще не понял. Как-то не очевидно, что из сходимости $a_n$ следует сходимость последовательности соответствующих функций. (Ну хотелось бы более формально).

-- Вт ноя 17, 2009 19:59:28 --

Так, наверно вот так:

Пусть $\[{x_n}\left( t \right) = \sqrt t \cos \frac{{{a_n}}} {t} \in K\]$ сходится к некоторому $x$ при $\[n \to \infty \]$, тогда в силу ограниченности $a_n$ существует сходящаяся подпоследовательность. Затем пользуемся непрерывностью функции $x_n$ и загоняем предел (по подпоследовательности) внутрь и получаем функцию из множества. Т.к. предел единственен, то полученный предел и равен $x$.

[ewert]

Это немножко другая тема. Ограниченность -- да, тривиальна, естественно. Насчёт замкнутости -- так сразу не скажу (я и в тот раз сперва обжёгся). Предкомпактности -- почти наверняка нет (уж больно хаотически ведут себя функции из любой последовательности в окрестности нуля), но категорически утверждать этого из перестраховки и сейчас не буду.

[ShMaxG]

Ладно, с замкнутостью разобрались. Теперь вполне ограниченность. Здесь достаточно доказать равностепенную непрерывность этих функций. Т.е. хотим

$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists \delta \left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall x \in K{\text{ }}\forall t,\tau \in \left[ {0,1} \right]\]$ $\[\left( {\left| {t - \tau } \right| < \delta } \right) \Rightarrow \left( {\left| {\sqrt t \cos \frac{a} {t} - \sqrt \tau \cos \frac{a} {\tau }} \right| < \varepsilon } \right)\]$

Причем производные функции не ограничены, значит еще не факт, что это выполнено...

[ewert]

Равностепенной непрерывности -- почти наверняка нет. Уж шибко часто осциллируют те функции в окрестности нуля, причём коренеподобная амплитуда -- слабовата и вряд ли может погасить (в нужном смысле) частоту осцилляций.

Пардон за лирику.

[ShMaxG]

(здесь был бред)

[neverland]

Можно глупый вопрос? Почему в данном случае для того, чтобы множетсво было вполне ограниченным (т.е. можно было построить конечную $\varepsilon$-сеть), достаточно доказать равностепенную непрерывность этих функций? Никак не въеду

[ShMaxG]

neverland
Теорема Арцела-Асколи.

[id]

ShMaxG
Это параметрическое семейство функций $\{ x(t)_a \}_{a \in [0,1] }$ или наоборот, функции от $a$, индексирующееся через $t$?

( Этот глупый вопрос - от записи
$\[\forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists \delta \left( \varepsilon \right) > 0{\text{ }}\forall x \in K{\text{ }}\forall t,\tau \in \left[ {0,1} \right]\]$ $\[\left( {\left| {t - \tau } \right| < \delta } \right) \Rightarrow \left( {\left| {\sqrt t \cos \frac{a} {t} - \sqrt \tau \cos \frac{a} {\tau }} \right| < \varepsilon } \right)\]$. Так или иначе, почему $a$ там одинаковые? )

[ShMaxG]

$\[K = \left\{ {x \in C\left[ {0,1} \right]|\exists a \in \left[ {0,1} \right]\forall t \in \left( {0,1} \right]:x\left( t \right) = \sqrt t \cos \frac{a} {t}} \right\}\] $

Но задачку-то я все-таки решил, оказалось вполне ограниченным (сл-но компактным). Просто максимум разности значений функций можно рассматривать на отрезках (зав. от эпсилон), не включающих нуль. Там все это семейство функций имеет равномерно ограниченные производные (по параметру $a$).

[id]

По параметру $a$ это вроде как кривая в пространстве $C(0,1]$, непрерывный образ компакта. Значит ... .
Или нет?

[AD]

Не, в нуле непрерывности нету. upd: Есть непрерывность! Прав id, слушайте его .

[ShMaxG]

А если в задаче $a \in [0,+ \infty)$? Тогда так просто не отделаешься... Мое решение не прокатывает, т.к. производная перестает быть ограниченной... Что вы думаете?

[id]

Думаю, что замкнутым не будет.

А вот со вполне ограниченностью что делать... хм.
Думаю, ее тоже не будет. Надо теорему Арцела в другую сторону.

[ewert]

Замкнутым -- будет, предкомпактным -- нет.

[id]

Да, кажется, с замкнутостью я сглупил...