2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Тригонометрические константы
Сообщение12.11.2009, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1907
Минск, Беларусь
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\alpha & \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \tg\alpha = \ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \\
\hline
\frac{\pi}{60}=3^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\
\hline
\frac{\pi}{30}=6^{\circ} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}} \\
\hline
\frac{\pi}{20}=9^{\circ} & \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}-1}{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\
\hline
\frac{\pi}{15}=12^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \\
\hline
\frac{\pi}{12}=15^{\circ} & \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} & 2-\sqrt{3} \\
\hline
\frac{\pi}{10}=18^{\circ} & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\
\hline
\frac{7\pi}{60}=21^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}+8} \\
\hline
\frac{2\pi}{15}=24^{\circ} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\
\hline
\frac{3\pi}{20}=27^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}+1}{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\
\hline
\frac{\pi}{6}=30^{\circ} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\hline
\frac{11\pi}{60}=33^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\
\hline
\frac{\pi}{5}=36^{\circ} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\
\hline
\frac{13\pi}{60}=39^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\
\hline
\frac{7\pi}{30}=42^{\circ} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}} \\
\hline
\frac{\pi}{4}=45^{\circ} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \\
\hline
\end{array}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические константы
Сообщение12.11.2009, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12610
Эту таблицу надо в справочник поместить.

интересно, что 60 делится на 5, 3, 2 и под корнями стоят тоже 5, 3 и 2. А синусы остальных целых углов будут? Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрические константы
Сообщение12.11.2009, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
1907
Минск, Беларусь
gris в сообщении #261333 писал(а):
Эту таблицу надо в справочник поместить.
Так я и хотел. Но там не дают постить. :-) Поэтому написал тут и позвал модераторов.

gris в сообщении #261333 писал(а):
А синусы остальных целых углов будут?
Если угол, тригонометрическая функция которого выражается через радикалы, равен целому числу градусов, то это целое число обязательно делится на три.

gris в сообщении #261333 писал(а):
Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?
Конечно, есть. Например, $$\sin\frac{\pi}{17}=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{15+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{128}}}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group