2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 квадрат нормы собственных функций Бесселя
Сообщение19.05.2006, 19:51 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Нужно доказать дормулу для квадрата нормы собственных функций Бесселя, для котрых
$$
J_0^{'} \left( {\xi _ m} \right) = 0
докво.
Пусть
$$
F_1 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _1 r} \right),\alpha _1  = \frac{{\xi _m }}
{R}
$$
$$
F_2 \left( r \right) = J_0 \left( {\alpha _2 r} \right),\alpha _2  - 
$$
произвольный параметр. Функции
$$
F_1 \left( r \right),F_2 \left( r \right)
$$удовлетворяют уравнениям
$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }}
{{dr}}} \right) + \alpha _1^2 rF_1  = 0
$$
$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }}
{{dr}}} \right) + \alpha _2^2 rF_2  = 0
$$
причем
$$
F_1^{'} \left( R \right) = 0,F_2 \left( R \right) \ne 0
$$
$$
\eqalign{
  & J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = 0,J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right) \ne 0,  \cr 
  & J_0^{'} \left( {\xi _1 } \right) = 0,J_0^{'} \left( {\xi _2 } \right) \ne 0 \cr} 
$$

$$
\frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_1 }}
{{dr}}} \right)F_2  + \alpha _1^2 rF_1 F_2  - \frac{d}
{{dr}}\left( {r\frac{{dF_2 }}
{{dr}}} \right)F_1  + \alpha _2^2 rF_1 F_2  = 0\quad 
$$
$$
\left. {\left[ {r\left( {F_1^' F_2  - F_2^' F_1 } \right)} \right]} \right|_0^R  + \left( {\alpha _1^2  - \alpha _2^2 } \right)\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = 0
$$
$$
\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = \frac{1}
{{\left( {\alpha _2^2  - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _1 J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right)J_0 \left( {\alpha _2 R} \right) - \alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right)
$$

$$
 = \frac{{ - 1}}
{{\left( {\alpha _2^2  - \alpha _1^2 } \right)}}R\left( {\alpha _2 J_0^{'} \left( {\alpha _2 R} \right)J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right)
$$

$$
\int\limits_0^R {rF_1 F_2 dr}  = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 } \frac{{R\left[ {J_0 (\alpha _2 R)\alpha _1 J_0^{'} (\alpha _1 R) - J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R)} \right]}}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R)
$$
раскрывая неопределенность
$$
 = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{\alpha _2^2  - \alpha _1^2 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 J_0^{'} (\alpha _2 R) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha _2  \to \alpha _1 }  - \frac{R}
{{2\alpha _2 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _2 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _2 R)} \right)
$$
$$
 =  - \frac{R}
{{2\alpha _1 }}\left( {J_0 (\alpha _1 R)J_0^{'} (\alpha _1 R) + J_0 (\alpha _1 R)\alpha _2 RJ_0^{''} (\alpha _1 R)} \right) =  - \frac{R}
{{2\alpha _1 }}J_0 (\alpha _1 R)\alpha _1 RJ_0^{''} (\alpha _1 R) =  - \frac{{R^2 }}
{2}J_0 (\alpha _1 R)J_0^{''} (\alpha _1 R)
$$


дальше пробую применить формулу
$$
F^{''}  - \frac{1}
{r}F^'  = \alpha _1 F
$$
в нашем случае
$$
J_0 ^{''} \left( {\alpha _1 R} \right) - \frac{1}
{R}J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) = \alpha _1 J\left( {\alpha _1 R} \right)
$$

продолжаем равенство
$$
 =  - \frac{{R^2 }}
{2}J_0 (\alpha _1 R)\left( { - \frac{1}
{R}J_0^' \left( {\alpha _1 R} \right) + \alpha _1 J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right) =  - \frac{{R^2 }}
{2}\alpha _1 \left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 
$$
А в моем случае должно получится вот такое

$$
\int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\alpha _1 r} \right)rdr = \frac{{R^2 }}
{2}\left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 
$$
$$
\int\limits_0^R {J_0^2 } \left( {\frac{{\xi _m }}
{R}r} \right)rdr = \frac{{R^2 }}
{2}\left[ {J_0 \left( {\xi _m } \right)} \right]^2 
$$
помогите найти ошибку!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.05.2006, 03:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ОшибкИ в формуле после
Цитата:
дальше пробую применить формулу

не минус, а плюс, и альфа должна быть в квадрате и с минусом.
Но еще одна ошибка затерялась в решении задачи Неймана.
Дело в том, что для задачи Неймана функции $J_0(\alpha_m r)$
НЕ ОБРАЗУЮТ базис, в отличие от задачи Дирихле.
Краевая задача Неймана для Бесселя имеет еще одну собственную функцию,
именно, единичную константу.
У Тихонова-Самарского это обстоятельство в спешке не написано.
Так что к рядам, которые у Вас написаны, нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее постоянной собственной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: квадрат нормы собственных функций Бесселя
Сообщение20.05.2006, 06:38 
Аватара пользователя


24/10/05
400
дальше пробую применить формулу
(хотя на черновике я минус не забыл)
$$
F^{''}  + \frac{1}
{r}F^{'}  = \alpha _1 ^2 F
$$


продолжаем равенство
$$
 =  - \frac{{R^2 }}
{2}\alpha _1 ^2 \left[ {J_0 \left( {\alpha _1 R} \right)} \right]^2 
$$
так?
как быть с альфа_1

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.05.2006, 06:41 
Аватара пользователя


24/10/05
400
shwedka писал(а):
Дело в том, что для задачи Неймана функции $J_0(\alpha_m r)$
НЕ ОБРАЗУЮТ базис, в отличие от задачи Дирихле.
Краевая задача Неймана для Бесселя имеет еще одну собственную функцию,
именно, единичную константу.
Так что к рядам, которые у Вас написаны, нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее постоянной собственной функции.

конечно не очень понятно, как мы это получили... можете пояснить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.05.2006, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Цитата:
конечно не очень понятно, как мы это получили... можете пояснить?

KAK? Да просто
подставьте константу в задачу Неймана на собственные значения для ур. Бесселя и проверьте, что она - собств. функция с собств. значением 0.
А ряд по собственным функциям должен содербать все с.фии.
Помните, мы обсуждали, почему только положительные собственные значения уравнения Бесселя в задачу Дирихле входят.
Тогда мы договорились, что по-честному нужно рассмотреть возможность отрицательных и нулевых тоже, и для Дирихле таких нет.
Для задачи Неймана отрицательных по-прежнему нет, а нулевое появляется.
Цитата:
(хотя на черновике я минус не забыл)

в правой части тоже минус поставить надо!!
Но в формуле перед словами
Цитата:
дальше пробую применить формулу

стоят производные не F, a Бесселя,
поэтому после
Цитата:
в нашем случае
должно быть

$$ J_0 ^{''} \left( {\alpha _1 R} \right) + \frac{1} {R}J_0^{'} \left( {\alpha _1 R} \right) =-  J\left( {\alpha _1 R} \right) $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group