Ср-квадратические приближения и метод наименьших квадратов

[Dim1980]

Курс "Численные методы".
Прошу помочь советом, соображениями, либо указанием на тематические источники.

Постановка проблемы такая:
требуется максимально хорошо на отрезке интегрально среднеквадратически приблизить функцию полиномом небольшой фиксированной степени m, если есть возможность вычислить ее n значений на этом отрезке, n>>m.

Вопрос, как следует выбирать эти значения, и какой использовать метод, чтобы добиться поставленной цели.

К примеру, при полиномиальной интерполяции известно, что априорная погрешность минимальна, если за узлы интерполяции берутся корни полиномов Чебышева (приведенные к данному отрезку).
Возможно ли подобное решение в данном случае, то есть неравномерная сетка и минимизированная погрешность?

Данная задача в некотором смысле видится эквивалентной следующей:
есть отрезок и возможность вычислить на нем n значений неизвестной функции. Как следует выбирать эти точки, чтобы получить по ним функцию, наилучшим образом среднеквадратически приближающую эту неизвестную? Если нет ограничения на вид приближающей функции.

Жду откликов

[reader_st]

Советую Львовский В.Н. Статистические методы построения эмпирических формул

[Alexx]

Если функция, которую Вы приближаете полиномом детерминированная (отсутствует шум), то метод наименьших квадратов оптимален в смысле минимума суммы квадратов ошибок по каждой точке (и тут наплевать, какие именно полиномы использовать: алгебраические или Чебышева). Другое дело, что эта задача, решаемая с помощью алгебраических полиномов - плохо обусловлена. Так что предпочтительней использовать полиномы Чебышева или любые
другие ОРТОГОНАЛЬНЫЕ полиномы (кстати и с точки зрения вычислительной эффективности). Если же на детерминированную функцию аддитивно наложен нормальный некоррелированный шум с дисперсией постоянной во времени (равноточные измерения), то метод наименьших квадратов оптимален в смысле максимума правдоподобия(т.е. метод наим. квадр-в дает максимально правдоподобную оценку). Однако, Вы должны априори посмотреть вот на что: на практике дело обстоит так, что на практике приближают ни ВООБЩЕ функции, а функции из некоторого класса: например, говорят, что производные данной фунции выше 3-й или 4-й пренебрежимо малы и таким образом функцию можно аппроксимировать полиномом 3-го или 4-го порядка с ошибкой, равной остаточному члену
в формуле Тейлора. Но !!! чем выше степень полинома, тем больше дисперсии оценок коэффициентов данного полинома: т.е. чем меньше кол-во производных в исходной
детерминированной функции, тем выше точность оценки МНК при одной и той же дисперсии
шума.