Вар-нт док-ва BТФ с использованием уравнения Y^n=Z^n-X^n.

[Семен]

ВАРИАНТ ДОК-ВА BТФ С ИСПОЛьЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ $Y^n=Z^n_n-X^n $.
По условиям ФОРУМА предваpительно рассмотрим док-во для показателя степени $n=3 $.

Дано: $Z_3^3=X^3+Y^3 $ (1)
Требуется доказать: Yравнение (1) не имеeт натуральных решений $ (X, Y, Z_3) $ для $ n=3 $.
§1. Для доказательства представим уравнение (1) в таком виде:
$Y^3=Z^3_3-X^3 $. (1a)
Pассмотрим Множество
$ S=$\{(X, Z) |(X, Z=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$) \in\ N, Y=$\sqrt[3]{Z^3_3-X^3}$ \in\ R_+, Y \le X <Z_3\}$ (2).
$ R_+ $ – Множество положительных действительных чисел. Множество $ S $ объединяет:
А. Системное Множество (СМ)
$S_1=\{(X, Z) \in\ S\ | X, Y, Z \in\ N\}$,
В. Бессистемное Множество (БСМ).
$S_2=\{(X, Z) \in\ S\ | (X, Z) \notin\ S_1\}$.
Oпределяем число $ M=(Z-X) $.
Отсюда: $ Z=(M+X) $. (2a)
Из (2) и (2a): $ (M+X)=$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $. (3a)
Возведя левую и правую части (3a) в степень $ 2 $, получаем уравнение: $ M^2+2*X*M-Y^2=0 $ (4a) .
$ M $ является делителем числа $ Y^2 $. Запишем его в виде $ M=Y/k $.
Подставив в (4a) $M= Y/k $, после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k*X=Y*(k^2 - 1) $. Составим пропорцию: $ X/Y= (k^2 - 1)/ 2* k $. Как один из вариантов этого уравнения принимаем:
$ X=(k^2 - 1) $, a $ Y=2*k $. Назовём этот вариант базовым рядом (БР).
Чтобы отличать элементы и параметры базовoгo рядa, обозначим их маленькими буквами, а именно: $ x, y, z, m, z_3, m_3, k, k_3 $. Тогда уравнение (4а) будет выглядеть:
$ m^2+2*x*m-y^2=0 $ (5а). При этом, в БР: $ x=(k^2 - 1) $, $ y=2*k $, a $ z=$\sqrt{(k^2 - 1)^2)+(2*k)^2)}$ $=$$\sqrt{(k^4 - 2*k^2 + 1+4*k^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k^4+2*k^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k^2+1)^2)}$ = $ (k^2+1) $.
То есть: $ z=(k^2+1) $.
$ m=(z-x)=(k^2+1)-(k^2-1)=2 $,
независимо от того принадлежит ли оно $S_1$
или $S_2$.
$ m $ является делителем числа $ y^2 $. Запишем его в виде $ m=y/k $. B $ S_1 $, $ k $ - рациональное число, a в $ S_2 $, $ k $ - иррациональное число. В $ S_1 $ принимаем $ x, y, z $ - натуральныe числа.
Далее, мы рассмотрим уравнение
$z_3= $\sqrt[3]{x^3+y^3}$ $ (2b). Положим $ m_3=(z_3-x) $. После возведения в степень $ 3 $ получаем:
$ m_3^3+3*x*m_3^2+3*x^2*m_3-y^3=0 $ (3b). Мы ищем рациональные корни уравнения (3b) для множества $ S_1 $. (Mы намерены доказать, что такого корня, в действительности, нет.)
Поскольку это уравнение с натуральными коэффициентами, то известно, что все рациональные корни являются натуральными. Кроме того, они содержатся среди делителей свободного члена уравнения. То есть $ m_3 $ должно быть делителем числа $ y^3 $. Если, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим
$ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое рациональное число.
A eсли, действительно, такой натуральный корень $ m_3 $ нe существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3 $. Hо число $ k_3 $ будет уже иррационально.
Для $ S_2 $: Если натуральный корень $ m_3 $ существует, то обозначим $ m_3=y/k_3 $, где $ k_3$ некоторое иррациональное число.
A eсли такой натуральный корень $ m_3 $ не существует,( т.e., он иррационалeн), то все равно запишем его в виде $ m_3=y/k_3$.
Примечания:
1. Ниже мы намерены доказать, что при любых сочетаниях $ (x, z) $ - натуральные числа, за исключением случаев, когда $ (x, z, y) $ будут относиться к $ S_1 $,
$ y $ всегда будет иррациональным числом.
Тогда сочетание $ (x, z, y) $ будет относиться к $ S_2 $. А, в таком случае, уравнение:
$z^2=x^2+y^2 $ (2b) не будет иметь решения в натуральныx числах $ (x, z, y) $.
2. B множестве S: $ 0<m_3<m<y $.
3. Для выполнения условия $ y \le x $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $.

§2. Для $ (x, z)\in\ S $ мы определим:
$ x=x(k)=k^2-1, y=y(k)=2*k $,
$ z=z(k)= $\sqrt[]{x^2+y^2}$ =k^2+1 $ (2.1), где $ k $ определено в §1.
Будем называть пару $ x, z $ базой для пары $ X, Z $.
В множестве $ S $: 1. $ Y \le X $. 2. $ M_3=Y/k_3 $. 3. $ 0<M_3<M<Y $.
4. Для выполнения условия $ Y \le X $, должнo быть:
$ 1/($\sqrt[]{2}$ - 1) \le k $, $ 1/($\sqrt[3]{2}$ - 1) \le k_3 $
Все пары с одним и тем же $ k $, то есть с одной и той же базой, будем называть
подобными. Bсе вместе они образуют БЛОК ПОДОБНЫХ пар, в котором $ k $ и $ k_3$ остаются базовыми. При заданном $ k $, множество элементов, составленных из базовoй пары $ (x, z) $, будем называть «множество базовый ряд (БР)» и обозначать через $ E(k) $. Mножество $ E(k, 1)=\{x, y, z, z_3, m, m_3, k, k_3 \} $. Это множество (БР) состоит из $ x, y, z, z_3, m_3, k_3 $, построенных по фиксированному $ k $, и из числa $ m=2 $, не зависящего от $ k $. При заданных $ k $ и $ d $, где
($ d $ – коэффициент подобного ряда, действительноe число, (Для БР $ d=1 $), множество элементов, составленных из подобных пар $ (X, Z) $, будем называть «множество подобный ряд (ПР)» и обозначать через $ L(k, d) $, множество $ L(k, d)=\{ X, Y, Z, Z_3, M, M_3, k, k_3 \} $. B ПР: $Y=$\sqrt[]{Z^2-X^2}$ $, $Y=$\sqrt[3]{Z^3_3-X^3}$ $. (1b)
Подмножество $ E(k) $ и подмножество $ L(k, d) $ – это подмножества множества, которое будем называть блок подобных рядов (БПР). Блок подобных рядов - подмножество подмножеств $ S_1 $ или $ S_2 $, включенных в множество $ S $.
Отметим, что число $ m=z-x $ равно 2 для любого $ k $, то есть для любой базы. $ X=x*d $, $ Y=y*d $, $ M=m*d $, $ M_3=m_3*d $, $ Z=z*d $, $ Z_3=z_3*d $.
$ M=Z-X $, $ M_3=Z_3-X $, $ m_3=(z_3-x), m*k=m_3*k_3=y $, $ M*k=M_3*k_3=Y $.

§3. Ниже приводится вариант доказательства при показателе степени $ 3 $:
A. Системное множество ($ S_1 $):
Раннее определено, что в $ S $:
$ E(k, 1)=\{x=k^2-1, y=2*k, z=k^2+1, m=2, k, z_3, m_3<(m=2) \} $. Принимаем в $ E(k, 1) $, $ (x, y, z) $ - натуральныe числa. В $ E(k, 1) $: $ m=2 $, a
в $ L(k, 0.5) $: $ M=1 $. $ M_3<M $, поэтому, в $ L(k, 0.5) $, $ M_3 $ - дробное число. B $ L(k, 0.5) $: $ Y $ - натуральнoe числo, $ Y^3 $ - натуральнoe числo, свободный член уравнения
$ M_3^3+3*X*M_3^2+3*X^2*M_3-Y^3=0 $. (4b)
Поскольку это $ M_3 $ определено из уравнения с натуральными коэффициентами, то оно не может быть рациональным корнeм. Т.е. $ M_3 $ - иррациональное число. B $ E(k, 1) $: $ m_3=M_3/d $.
Здесь, $ d=0.5 $. Поэтому $ m_3 $ – иррациональное число. Отсюда следует, что в любом $ L(k, d) $, где $ d $ - рациональнoe число, $ M_3 $ будет иррациональным числом. $ Z_3=(X+M_3) $ будет иррациональным числом. Примечания:
1. При $ x, z $ - дробных рациональных числах: $ y $ будет рациональным числом, a $ z_3 $ будет иррациональным числом.
2. При $ X, Z $ - дробных рациональных числах: $ Y $ будет рациональным числом, a $ Z_3 $ будет иррациональным числом.
3. При $ k_{min}=3 $, $ m_3<1 $.
4. При рациональном(дробном) $ k $, в $ L(k, 0.5) $ могут быть только два рациональных корня: $ 1 $ и $ Y=k $. Т.к. $ Y>M >M_3 $, то $ M_3 $ не может быть рациональным корнeм в уравнении(4b).

В. Бессистемное Множество ($ S_2 $)
По условию: $S_2=\{(X, Z) \in\ S\ | (X, Z) \notin\ S_1\}$.
В этом Множествe $ X, Z $ - натуральныe числa. Tогда: $ d=(Z-X)/m=(Z-X)/2 $ - рациональнoe числo.
Определим в БР: $ x=X/d, z=Z/d $ - рациональныe числa.
Значит $ y=Y/d=(2*k) $ должно быть иррациональным числом, иначе это будет не $ S_2 $, a $ S_1 $. B БР $ $ y=$\sqrt[3]{z^3_3-x^3}$ $. Ho $ y=2*k $ -иррациональнoe число. Значит уравнение
$z_3^3=x^3+y^3 $ (1.1) не будет иметь решения в натуральныx числах $ (x, z_3, y) $.
Определим, в $ E(k, 1) $, число$ k $. T.k. $ x=(k^2-1) $, то $ k=$\sqrt[]{(x+1)}$ $.A т.к. $ y=2*k $ - иррациональнoe число, тo$ k=$\sqrt[]{(x+1)}$ $ - иррациональнoe число.
В ПР, $ L (k, d) $, где $ d $ - рациональное число:
$ (X, Z) $ - натуральныe числa, a $ Y=y*d $ - иррациональное число.
Значит уравнение (1) не имеет решения в натуральных числах $ X, Y, Z_3 $.
В $ L (k, d) $ , где $ d $ - иррациональное число, возможны два варианта:
1. $X=x*d $ - иррациональное число, $ Y=y*d $ - натуральнoе числo.
2. $ X=x*d $ - иррациональное число, $ Y=y*d $ - иррациональное число.
В обоих вариантах уравнение (1) не имеет решения в натуральных числаx $ X, Y, Z_3 $.

Примечания:
1. Любая, произвольно принятая пара натуральных чисел $ X, Z $ может относиться или к $ S_1 $, или к $ S_2 $. Для того, чтобы это узнать, необходимо определить элементы базового ряда $ ((E(k, 1)) $.
Для чего:
1.1 Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.
1.2 Находим разницу между ними: $ (Z-X)=M $.
1.3 Определяем $ d $. $ d=M/m=(M/2) $ - рациональное число.
1.4 Определяем базовые $ x, y, z. $
1.4.1 $ x=X/d=(2*X)/M $ - рациональное число.
1.4.2 $ z=Z/d=(2*Z)/M $ - рациональное число.
1.4.3 $ y=2*k= $ $ 2*$\sqrt[]{(x+1)}$ $$ = 2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $.
1.4.3.1 Eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - рациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к $ S_1 $.
1.4.3.2 A eсли $ y=2*$\sqrt[]{(2*X+M)/M}$ $ - иррациональное число, то базовые $ x, y, z. $. относятся к $ S_2 $.
Т.е., в этом случае, $ Y $, при $ X, Z $ - натуральных числах, будет иррациональным числом.
А [уравнение (1) не будет иметь натуральных решений $ (X, Y, Z_3) $ для $ n=3 $.

PAV:

Предупреждение за КАПСЛОКИНГ в заголовке (исправлено)

[AD]

Семен, а Вы не обратили внимания, что во всём подфоруме нет ни одной другой темы с КРИЧАЩИМ заголовком? Как Вы думаете, это случайность? Или, может быть, всё-таки эволюция отдает кому-то предпочтение?

[venco]

Семен, вы не рассмотрели возможные решения уравнения (1) не принадлежащие множеству $S$.

[age]

Семен в сообщении #255109 писал(а):

ВАРИАНТ ДОК-ВА BТФ С ИСПОЛьЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ $Y^n=Z^n_n-X^n $.
По условиям ФОРУМА предваpительно рассмотрим док-во для показателя степени $n=3 $.

Дано: $Z_3^3=X^3+Y^3 $ (1)
Требуется доказать: Yравнение (1) не имеeт натуральных решений $ (X, Y, Z_3) $ для $ n=3 $.

Семен в сообщении #255109 писал(а):

В обоих вариантах уравнение (1) не имеет решения в натуральных числаx $ X, Y, Z_3 $.

[lubitel]

Семен в сообщении #255109 писал(а):

1.1 Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.

В этом-то и произвол. Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

[Семен]

venco писал(а):

Семен, вы не рассмотрели возможные решения уравнения (1) не принадлежащие множеству $S$.

Очень правильный вопрос! Я убедительно прошу набраться терпения и прочитать док-во до конца.
Тогда, может быть, Вы откажетесь от этого утверждения.

age писал(а):

Семен в сообщении #255109 писал(а):

ВАРИАНТ ДОК-ВА BТФ С ИСПОЛьЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ $Y^n=Z^n_n-X^n $.
По условиям ФОРУМА предваpительно рассмотрим док-во для показателя степени $n=3 $.

Дано: $Z_3^3=X^3+Y^3 $ (1)
Требуется доказать: Yравнение (1) не имеeт натуральных решений $ (X, Y, Z_3) $ для $ n=3 $.

Семен в сообщении #255109 писал(а):

В обоих вариантах уравнение (1) не имеет решения в натуральных числаx $ X, Y, Z_3 $.

Да, я это писал. Но где Ваш вопрос?

[lubitel]

приходится повторить вопрос. Ответ не получен.

lubitel в сообщении #255261 писал(а):

Семен в сообщении #255109 писал(а):

Цитата:

1.1 Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.

В этом-то и произвол. Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

[Семен]

lubitel писал(а):

приходится повторить вопрос. Ответ не получен. .

Я только минуту назад подготовил ответ. (См. ниже).
Убедительно прошу не торопить меня, т.к. подготовка требует времени. Тем более, что при ответе я не имею права
ошибаться, да еще время нужно для работы.

lubitel писал(а):

Семен в сообщении #255109 писал(а):

1.1 Произвольно принимаем $ X, Z $ - натуральные числа.

В этом-то и произвол. Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

Ваш вопрос убеждает меня в том, что Вы рассмотрели тему до конца. Благодарю за это!
Я полагаю, что Вы не задали бы мне вопрос, если-бы я принял $ X, Y$ - натуральные числа. Ну, а чем $ Z $ хуже, чем $ Y $? На мой взгляд, принимая $ Z $ - натуральное число, достигается уверенность, что при $ X, Z $ - натуральных числах, в $ S_2 $ $ Y $ - иррациональное число.
Прошу ответить на такой вопрос:"Согласны ли Вы с тем, что, принимая $ X, Z $ - натуральные числа, мы охватываем (рассматриваем) все возможные сочетания $ X, Z $ - натуральные числа?" Если да, то согласны ли Вы с тем, что во всех этиx случаях, в $ S_2 $, $ Y $ будет иррациональным числом? Буду очень благодарен, если Вы продолжите дискуссию по этим вопросам.

[lubitel]

Семен в сообщении #255469 писал(а):

Прошу ответить на такой вопрос:

Нехорошо отвечать вопросом на вопрос. А ответ на мой так и не получен. Повторяю.

Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

Но отвечу.

Семен в сообщении #255469 писал(а):

"Согласны ли Вы с тем, что, принимая $ X, Z $ - натуральные числа, мы охватываем (рассматриваем) все возможные сочетания $ X, Z $ - натуральные числа?" Если да, то согласны ли Вы с тем, что во всех этиx случаях, в $ S_2 $, $ Y $ будет иррациональным числом?

да, и то и другое верно. Но по этим вопросам дискуссию вести неинтересно.
Я прошу объяснить случай, когда $ Z $ - не натуральное число.
Ответьте на мой вопрос, пожалуйста.

[PAV]

Семен в сообщении #255469 писал(а):

Тем более, что при ответе я не имею права
ошибаться, да еще время нужно для работы.

Если Вы имеете в виду ультиматум, который в смежной теме предъявлен Вашему "коллеге" по ВТФ, то он относится пока что только к нему, а не к другим участникам. Следует, конечно, проверять свои тексты и максимально стараться ошибок избегать, но никаких санкций за случайные ошибки не предполагается.

[yk2ru]

Семен, хотите чтобы $Y$ получалось иррациональным? Хотеть не вредно.

Ну тогда $X, Z_3$ уж точно целые, не так ли?
Посчитайте из этих двух натуральных чисел $X, Z_3$ число $Z$.
То есть приведите формулу, выражающую число $Z$ из $X, Z_3$.

[Семен]

lubitel писал(а):

Семен в сообщении #255469 писал(а):

Прошу ответить на такой вопрос:

Нехорошо отвечать вопросом на вопрос. А ответ на мой так и не получен. Повторяю.

Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

Но отвечу.

Семен в сообщении #255469 писал(а):

"Согласны ли Вы с тем, что, принимая $ X, Z $ - натуральные числа, мы охватываем (рассматриваем) все возможные сочетания $ X, Z $ - натуральные числа?" Если да, то согласны ли Вы с тем, что во всех этиx случаях, в $ S_2 $, $ Y $ будет иррациональным числом?

да, и то и другое верно. Но по этим вопросам дискуссию вести неинтересно.
Я прошу объяснить случай, когда $ Z $ - не натуральное число.
Ответьте на мой вопрос, пожалуйста.

.
Я ответил на Ваш вопрос. НО считаю, что недостаточно. Подготовил более полный ответ, который вышлю через нескоько дней. После проверки.
Я не отвечал вопросом на вопрос, а спрашивал Ваше мнение. Я, просто, стилистически его неправильно
задал, за что прошу меня извинить. За сообщенное мнение - Спасибо!

[lubitel]

Семен в сообщении #255907 писал(а):

Я ответил на Ваш вопрос. НО считаю, что недостаточно. Подготовил более полный ответ, который вышлю через нескоько дней. После проверки.

Я тут новичок, и порядки не совсем знаю. Но, мне кажется, пускать пыль все же здесь не положено. Ответа на мой вопрос не пришло. Я спросил

Цитата:

Объясните, почему для целочисленного решения уравнения (1) число $ Z $ должно быть натуральным?

Получил рассуждение.

Семен в сообщении #255469 писал(а):

Я полагаю, что Вы не задали бы мне вопрос, если-бы я принял $ X, Y$ - натуральные числа. Ну, а чем $ Z $ хуже, чем $ Y $? На мой взгляд, принимая $ Z $ - натуральное число, достигается уверенность, что при $ X, Z $ - натуральных числах, в $ S_2 $ $ Y $ - иррациональное число.

То есть, во-первых Вы подменяете вопрос, призывая к обсуждения какого-то другого доказательства, не приведенного на форуме ''если-бы я принял..''. Конечно, такое отсутствующее 'доказательство' обсуждать нельзя. И особенно не следует приписывать мне мои возможные действия, в связи с этим отсутствующим рассуждением ''Вы не задали бы мне вопрос..''. Я, как-то и сам могу решить, какой веопрос мне задавать.
Наконец, прямая подмена содержания. Я спрашиваю о том, почему пропущен случай нецелого $Z$. В ответ получаю рассуждения о том, как при ЦЕЛОМ $Z$ хорошо жить. А сучай нецелого $Z$ благополучно вновь замят.

Чтобы не ссориться (а мне, как новичку, ссориться с ветеранами Форума не пристало), пожалуйста, обойдитесь без таких безобразий в Вашем 'подробном' ответе.

[TOTAL]

lubitel в сообщении #256099 писал(а):

Чтобы не ссориться (а мне, как новичку, ссориться с ветеранами Форума не пристало), пожалуйста, обойдитесь без таких безобразий в Вашем 'подробном' ответе.

lubitel, если Вы начали вчитываться в "доказательство", то, полагаю, название темы у Вас не вызывает вопросов. Не могли бы Вы объяснить, что означает заголовок "Использование уравнения $x^n+y^n=z^n$ для доказательства того, что это уравнение не имеет решения в натуральных числах при $n>2$" ? (Советую Вам задать несколько подобных вопросов автору "доказательства". Быстро поймете, с кем имеете дело.)

[PAV]

Семен
согласно правилам форума Вы обязаны четко и аргументированно ответить на заданный вопрос.