Неразличение "среды" задачи в математике

[STilda]

Мы не обращаем внимание на среду в которой ставится задача и в которой требуется ее решение. Среду существования объектов условия задачи.
Например имея треугольник в 3D мы запросто используем для него теорему Пифагора. А можно ли? Мы говорим, что можно рассматривать плоскость в которой лежит этот треугольник и на плоскости работают все "плоские" теоремы, поэтому они работают и в 3D.
На самом деле, при таком подходе мы меняем условия задачи, решаем задачу для другого пространства. Для треугольника в 3D не работает теорема Пифагора так как он задается тремя координатами а не двумя. Фактически мы решаем задачу на проэкции, хотя поставлена она в объеме.
Вообще, если быть честным, то мы не ставим задачу в объеме. Поэтому и наше решение на проэкции нас удовлетворяет.

Но суть вопроса в следующем. Задачи у нас исходят из реальности. Если у нас система описывается тремя параметрами (в 3D) то это три параметра, три наблюдаемых величины, характеризующих систему. Что же означает вот эта фраза "проведем плоскость через треугольник"? Это ведь изменение условий физического эксперимента. Мы должны взять другие датчики, мерять другие величины (с другими единицами измерения)... А всегда ли мы можем три единицы измерения заменить на две другие (сохраняя полноту описания системы)? Наверное никогда. Поэтому этот трюк с "проведем плоскость" не всегда имеет право быть.

[AD]

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Например имея треугольник в 3D мы запросто используем для него теорему Пифагора. А можно ли?

Можно, ибо все двумерные евклидовы пространства изоморфны.

-- Вс окт 25, 2009 13:30:13 --

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Для треугольника в 3D не работает теорема Пифагора так как он задается тремя координатами а не двумя.

Сформулируйте теорему Пифагора, пожалуйста, и приведите контрпример к ней для трехмерного треугольника.

[gris]

Теорема Пифогора есть частный случай теоремы косинусов, которая есть следствие свойств скалярного произведения и верна для всех Евклидовых пространств, которые реальность не отражают не всегда с не хорошим приближением(ненужные "не" вычеркнуть).

[ewert]

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Что же означает вот эта фраза "проведем плоскость через треугольник"? Это ведь изменение условий физического эксперимента.

Вовсе нет. Это -- просто выбор некоторой конкретной системы координат.

Раз уж Вы заговорили о физике. Бросим камень под углом к горизонту с заданной начальной скоростью. Но ведь камень имеет ещё и массу, цвет, запах и т.д.. И если мы всего этого в задаче не учитываем -- то, значит, меняем тем самым "условия физического эксперимента", не так ли?...

-- Вс окт 25, 2009 13:52:44 --

gris в сообщении #254743 писал(а):

(ненужные "не" вычеркнуть).

не ненужные "не" не вычёркивать

[STilda]

ewert в сообщении #254745 писал(а):

Это -- просто выбор некоторой конкретной системы координат.

Вот именно, что выбор другой системы координат это НЕ ПРОСТО. Что за этим стоит? Смена пространства решения задачи. И ваше решение верно для новой системы координат но не для исходной.

-- Вс окт 25, 2009 18:40:14 --

AD в сообщении #254740 писал(а):

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Например имея треугольник в 3D мы запросто используем для него теорему Пифагора. А можно ли?

Можно, ибо все двумерные евклидовы пространства изоморфны.

Почему я говорию про 3D а вы про двухмерные пространства?

AD в сообщении #254740 писал(а):

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Для треугольника в 3D не работает теорема Пифагора так как он задается тремя координатами а не двумя.

Сформулируйте теорему Пифагора, пожалуйста, и приведите контрпример к ней для трехмерного треугольника.

Теорема пифагора формулируется для треугольника на плоскости. Сформулировав ее мы задаем пространство решения - плоскость.

-- Вс окт 25, 2009 18:44:57 --

Трехмерный треугольник - рассмотрим пространство цветов - три координаты R G B. Три цвета - три точки в пространстве.
1. Объясните мне, что значит "проведем плоскость" в данном случае
2. Укажите, какие будут оси координат на этой плоскости. (Я такой наблюдатель, что кроме восприятия цвета у меня ничего нет. Смогу ли я "провести плоскость"?)

[Sekhmet]

О! Интересно, а какой треугольник можно построить по трем различным цветам? Как определить пространственные координаты вершин этого треугольника? И какова будет размерность такого пространства?

[ewert]

STilda в сообщении #254798 писал(а):

Почему я говорию про 3D а вы про двухмерные пространства?

Тут уж ничего не поделаешь. Так уж природа устроена, что двумерные пространства суть подмножества трёхмерного. А спорить с природой -- примерно то же, что против ветра.

STilda в сообщении #254798 писал(а):

Теорема пифагора формулируется для треугольника на плоскости. Сформулировав ее мы задаем пространство решения - плоскость.

Невозможно задать плоскость прежде, чем её задать. А опосля и задавать уж нечего.

STilda в сообщении #254798 писал(а):

Трехмерный треугольник - рассмотрим пространство цветов - три координаты R G B.

Не рассмотрим. "Пространство цветов" -- не евклидово.

[gris]

А что такого страшного с цветами?
В системе RGB это обычный единичный куб. Каждая точка отвечает некоторому цвету. В цифровых устройствах применяется дискретизация. Можно ввести расстояние между цветами и Теорема Ферма Пифагора будет очень даже выполняться. Плоскости, параллельные граням, можно наблюдать в фотошопе. Непараллельные - легко построить программой поточечной раскраски.
Другое дело, что этому расстоянию и плоскостям трудно придать какой-то естественный смысл. (А может быть и придают?)

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #254837 писал(а):

Можно ввести расстояние между цветами и Теорема Ферма (зачёркнут) Пифагора будет очень даже выполняться.

Одного пишем, другого зачёркиваем (интересуюсь, как: у меня это не получается)), чтобы не забыть.

gris в сообщении #254837 писал(а):

Другое дело, что этому расстоянию и плоскостям трудно придать какой-то естественный смысл. (А может быть и придают?)

А если такой смысл. Белый солнечный свет распадается в сферическом пространстве на цвета, как радуга на небе. Почему, нет? Ведь, цветовые волны имеют разную длину.

[ewert]

Виктор Ширшов в сообщении #254870 писал(а):

зачёркиваем (интересуюсь, как: у меня это не получается))

Теги c - math - s в третьей строчке, зачёркивание -- это s.

[STilda]

gris в сообщении #254837 писал(а):

Непараллельные - легко построить программой поточечной раскраски.

Построить можно. Но ау! Так мы же построим двумерное пространство. А задача поставлена в "трехмерии". Очевидно то, что настоящих трехмерных задач у нас нет, так как все наши трехмерные задачи решаются через проэкции на плоскость.

-- Вс окт 25, 2009 23:16:32 --

ewert в сообщении #254814 писал(а):

Так уж природа устроена, что двумерные пространства суть подмножества трёхмерного.

Давайте рассмотрим этот вопрос с точки зрения физики а не математики, так как тема называется "неразличение в математике". Различение есть в физике. Что такое трехмерное и двухмерное пространство в физике? Какие у кого варианты? Для затравки, моя ассоциация такая, что трехмерие - это, грубо говоря, цвета, а двухмерие - это площади, поэтому говорить, что двухмерие подмножество трехмерия не хочется.

-- Вс окт 25, 2009 23:19:55 --

ewert в сообщении #254814 писал(а):

Невозможно задать плоскость прежде, чем её задать. А опосля и задавать уж нечего.

Врядли здесь есть люди, могущие пользоваться такой логикой (не причино следственной) для математических построений.

-- Вс окт 25, 2009 23:21:43 --

ewert в сообщении #254814 писал(а):

Не рассмотрим. "Пространство цветов" -- не евклидово.

хорошее замечание. А треугольники могуть существовать в неэвклидовых пространствах?

[ewert]

STilda в сообщении #254934 писал(а):

А треугольники могуть существовать в неэвклидовых пространствах?

Могуть. Но в них нет теоремы Пифагора и вообще углов.

[covax]

Почему-то напомнило вот это: http://habrahabr.ru/blogs/wikipedia/73275/

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Могуть. Но в них нет теоремы Пифагора и вообще углов.

Как так? Есть! Углы уж точно есть во многих далеко не евклидовых пространствах (и аналоги теоремы Пифагора). Или я вас просто неправильно понял?

2STilda
Попробуйте разобраться с самим понятием "размерность пространства". Можно например смотреть на размерность пространства не как на минимальное количество независимых параметров, достаточных для описания каждой точки, а как на максимальную глубину рекурсивного разбиения гиперпространства гиперплоскостями (e.g. для разбиения физического пространства нужна одна плоскость, для разбиения этой плоскости нужен один отрезок, для разбиения этого отрезка нужна одна точка, итого 3 уровня разбиений, 3 измерения). Много разных определений размерности можно дать...

А если ещё и временную координату учитывать...

И вообще, в естественных науках имеют дело не с самой реальностью, а лишь с её моделями (порой ужасно абстрактными), которые не обязаны быть абсолютно точными (да и возможно ли это?). Но это уже философия попёрла...

[AD]

STilda в сообщении #254798 писал(а):

AD в сообщении #254740 писал(а):

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Например имея треугольник в 3D мы запросто используем для него теорему Пифагора. А можно ли?

Можно, ибо все двумерные евклидовы пространства изоморфны.

Почему я говорию про 3D а вы про двухмерные пространства?

Я говорю о любой плоскости в 3D. А вот Вы определенно придуриваетесь.

STilda в сообщении #254798 писал(а):

AD в сообщении #254740 писал(а):

STilda в сообщении #254736 писал(а):

Для треугольника в 3D не работает теорема Пифагора так как он задается тремя координатами а не двумя.

Сформулируйте теорему Пифагора, пожалуйста, и приведите контрпример к ней для трехмерного треугольника.

Теорема пифагора формулируется для треугольника на плоскости. Сформулировав ее мы задаем пространство решения - плоскость.

Ну и не надо говорить тогда, что "не работает", если даже сформулировать не можете.