2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:09 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Корректны ли следующие пределы:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{x}}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{\frac1x}$
или обязательно нужно так:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{|\frac1x|}$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Второй -- некорректен точно, остальные (даже и первый) -- приемлемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:14 
Аватара пользователя


23/01/08
565
А мне казалось, что они оба одновременно либо корректы, либо - нет. Ведь под корректностью имеется в виду форма записи, а не существование?

-- Сб окт 24, 2009 20:15:51 --

Я имею в виду, что второй предел во втором варианте записан верно, но не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:16 
Заслуженный участник


08/09/07
841
ewert в сообщении #254534 писал(а):
Второй -- некорректен точно, остальные (даже и первый) -- приемлемы.

Скажите а почему второй некорректен а первый корректен?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
А что такое корректность предела?

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:21 
Аватара пользователя


23/01/08
565
gris, я имел в виду, что можно ли так записывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Spook в сообщении #254531 писал(а):
Корректны ли следующие пределы:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{x}}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{\frac1x}$
или обязательно нужно так:
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin{|\frac1x|}$
?


Сформулируйте точно определение предела, которым Вы пользуетесь, тогда можно будет сказать о корректности задания. Определение можно сформулировать так, что корректны будут все четыре, или так, что останутся только два последних.

gris в сообщении #254543 писал(а):
А что такое корректность предела?


Видимо, имеется в виду, что в двух первых пределах не существует такой проколотой окрестности предельной точки, чтобы функция была определена во всей этой окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Да, по Зоричу так можно писать, если функция определена в проколотой окрестности. Иначе надо упоминать множество, по которому берётся предел. В данном случае было бы достаточно сказать, что предел правый.
Хотя кое-кто по умолчанию определяет предел по пересечению окрестности и области определения функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:32 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Someone в сообщении #254549 писал(а):
Сформулируйте точно определение предела, которым Вы пользуетесь, тогда можно будет сказать о корректности задания. Определение можно сформулировать так, что корректны будут все четыре, или так, что останутся только два последних.
Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:(\forall{n>N,n\in\mathbb{N}})(|f_n(x)-A|<\varepsilon)$). Судя по нему, оба первых варианта некорректы, так ведь?
Someone в сообщении #254549 писал(а):
Видимо, имеется в виду, что в двух первых пределах не существует такой проколотой окрестности предельной точки, чтобы функция была определена во всей этой окрестности.
Да, имеено так.

-- Сб окт 24, 2009 20:34:16 --

gris в сообщении #254553 писал(а):
В данном случае было бы достаточно сказать, что предел правый.

Кстати, не факт. Ведь в первом варианте во втором пределе синус может принять при положительном аргументе отрицательные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Упс. Я чего то думал, что под модулем синусы. Тогда нужно третью пару.
$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin x|}$,$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin\frac1x|}$

Кстати, стандартные определения (их два) начинаются со слов - пусть функция определена ...

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Spook в сообщении #254554 писал(а):
Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{n>N,n\in\mathbb{N}}|f_n(x)-A|<\varepsilon.$)


По-моему, Вы тут смешали в кучу определения предела функции и предела последовательности. Откуда взялось $n$?

gris в сообщении #254560 писал(а):
Я чего то думал, что под модулем синусы. Тогда нужно третью пару.


Ну, $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\sin|x|}$ можно и оставить. А вот на четвёртый я тоже, оказывается, невнимательно посмотрел. Там действительно должно быть $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{|\sin\frac1x|}$. Или определять предел, явно учитывая область определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 21:10 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Someone в сообщении #254563 писал(а):
Spook в сообщении #254554 писал(а):
Стандартное школьное определение($\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:\forall{n>N,n\in\mathbb{N}}|f_n(x)-A|<\varepsilon.$)
По-моему, Вы тут смешали в кучу определения предела функции и предела последовательности. Откуда взялось $n$?
Ошибся, там индекс правее должен быть:
$\forall\varepsilon>0\exists{N}\in\mathbb{N}:(\forall{n>N,n\in\mathbb{N}})(|f(x_n)-A|<\varepsilon)$

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Нету в определении предела функции по Коши никакого $n\in\mathbb N$. Или Вы имеете в виду определение по Гейне? Тогда тоже неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: правильность записи
Сообщение24.10.2009, 22:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А по-моему -- всё это ловля блох, и не более того.

Во втором случае понятие предела не определено попросту потому, что подкоренное выражение знаконеопределённо. В первом -- оно определено потому, что все ежи по умолчанию подразумевают положительный сдвиг.

Как-то всё это странно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group