2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство формулы Бесселя
Сообщение12.05.2006, 09:17 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Помогите доказать формулу
$$
\int\limits_0^x {x^{'^3 } J_0 (x^{'} )dx^{'}  = 2x^2  \cdot J_0 (x) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} 
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 09:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Убедитесь, что в нуле совпадают и проверьте совпадение производных слева и справа как функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 09:33 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Чего?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 09:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 09:46 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Руст писал(а):
При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство формулы Бесселя
Сообщение12.05.2006, 20:41 
Заслуженный участник


09/01/06
800
antoshka1303 писал(а):
Помогите доказать формулу
$$
\int\limits_0^x {x^{'^3 } J_0 (x^{'} )dx^{'}  = 2x^2  \cdot J_0 (x) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} 
$$


Есть такая хорошая штука. Называется преобразование Лапласа...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 20:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
antoshka1303 писал(а):
Руст писал(а):
При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

Вряд ли он это поймёт, если задаёт такие замечания. Я решил человек безнадёжен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
antoshka1303 писал(а):
Руст писал(а):
При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

никаких штрихов!!
Штрих стоял в исходном уравнении для обозначения переменной интегрированию.

Такие задачи ты уже решал. Возьми представление Бесселей в виде рядов, подставь в это уравнение и проманипулируй с рядами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 21:44 
Аватара пользователя


24/10/05
400
shwedka писал(а):
antoshka1303 писал(а):
Руст писал(а):
При х=0 справа и слева ноль. Поэтому достаточно доказать, что
$x^3J_0(x)=[2x^2J_0(x)+(x^3-4x)J_1(x)]'$

Хотошо, а это как! Да, ты не напутал, слева должно стоять х с Штрихом

никаких штрихов!!
Штрих стоял в исходном уравнении для обозначения переменной интегрированию.

Такие задачи ты уже решал. Возьми представление Бесселей в виде рядов, подставь в это уравнение и проманипулируй с рядами.


То есть тупо по определению?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 11:52 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Значит так
докажем вот это
$$
x^3 J_0 (x) = \frac{d}
{{dx}}\left( {2x^2  \cdot J_0 (x) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right)
$$
рассмитрим
$$
\frac{d}
{{dx}}\left( {2x^2  \cdot J_0 (x) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right)
$$

$$
\frac{d}
{{dx}}\left( {2x^2  \cdot J_0 (x) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1 \left( x \right)} \right) = 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + \left( {3x^2  - 4} \right)J_1 \left( x \right) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1^{'} \left( x \right)
$$

$$
\eqalign{
  & 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + \left( {3x^2  - 4} \right)J_1 \left( x \right) + \left( {x^3  - 4x} \right)J_1^{'} \left( x \right) =   \cr 
  & 4xJ_0 (x) + 2x^2 J_0^{'} (x) + 3x^2 J_1 \left( x \right) - 4J_1 \left( x \right) + x^3 J_1^{'} \left( x \right) - 4xJ_1^{'} \left( x \right) \cr} 
$$
Что дальше делать?
Я в правильном направлениии?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 15:08 
Аватара пользователя


24/10/05
400
хорошо
по определению
$$
J_n (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n} 
$$

$$
J_0 (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k} 
$$
$$
J_1 (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 2} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + 1} 
$$
$$
\eqalign{
  & J_0^{'} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 1} \right)}}\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k} 2kx^{2k - 1}  =   \cr 
  &   \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{k!\left( {k - 1} \right)!}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k - 1}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( k \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k - 1}  \cr} 
$$
$$
J_1^{'} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + 2} \right)}}\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 1} \left( {2k + 1} \right)x^{2k} 
$$
Подставить эти ряды и и посмотреть, что получится?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 15:32 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
shwedka писал(а):
вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

А зачем так усложнять? Мне кажется вполне достаточно воспользоваться формулами дифференцировая
$$
J'_{\nu}(x)=J_{\nu-1}(x)-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)
$$для $J'_1(x)$ и
$$
J'_{\nu}(x)=-J_{\nu+1}(x)+\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)
$$для $J'_0(x)$.
Решение будет в 2-е строчки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Аурелиано Буэндиа
это если эти формулы считаются известными. Но, как мне кажется, у антошки дано только определение Бесселей
antoshka1303 Так и продолжайте

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.05.2006, 21:17 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Аурелиано Буэндиа писал(а):
shwedka писал(а):
вполне. Теперь подставить ряды и собрать одинаковые степени

А зачем так усложнять? Мне кажется вполне достаточно воспользоваться формулами дифференцировая
$$
J'_{\nu}(x)=J_{\nu-1}(x)-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)
$$для $J'_1(x)$ и
$$
J'_{\nu}(x)=-J_{\nu+1}(x)+\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)
$$для $J'_0(x)$.
Решение будет в 2-е строчки.

Ой, спасибо, я доказал эти формулы и воспользовался ими. Тка что обошелся без испрользования рядов;)Спасибо большое

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group