2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 10:24 
Аватара пользователя


31/08/09
46
Здравствуйте!Помогите, пожалуйста, нужно доказать, что расстояние, определённое следующим образом:
$\[
p(x,y) = \max _{a \leqslant t \leqslant b} |x(t) - y(t)|
\]$
соответствует аксиомам метрики:
$\[
\begin{gathered}
  1.p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y \hfill \\
  2.p(x,y) = p(y,x) \hfill \\
  3.p(x,z) \leqslant p(x,y) + p(y,z) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
$x(t), y(t)$ определены, естественно, на $[a;b]$?
Ну так непосредственно и проверьте.
Например, пусть $x(t) = y(t)$. Тогда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 11:00 
Аватара пользователя


31/08/09
46
С первыми двумя то понятно, у меня возникли проблемы с третьей аксиомой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 11:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Максимум может достигаться при разных $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 11:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
feag в сообщении #251252 писал(а):
С первыми двумя то понятно, у меня возникли проблемы с третьей аксиомой.
$|a+b| \le |a| + |b|$ такое сможете доказать для чисел $a, b$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 13:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Сначала запишите неравенство без максимумов, для произвольного $t$. Затем возьмите максимум по всем $t$ в одной части, а после этого, когда она уже от $t$ не будет зависеть - в другой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение13.10.2009, 17:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #251256 писал(а):
Максимум может достигаться при разных $t$.

gris имеет в виду, что максимум суммы всегда не превосходит суммы максимумов (что вроде как вполне очевидно). А кроме этого нужно только неравенство треугольника для модулей самих по себе, что тоже известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по теме "Метрические пространства".
Сообщение19.10.2009, 05:28 
Аватара пользователя


31/08/09
46
Да, спасибо всем! Я примерно также и решил.Просто я в тот день прочитал книгу Бурбаки.И у меня почва из под ног вышла по части доказательств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group