2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 аа
Сообщение19.05.2006, 14:31 


12/12/05
61
Руст
а что такое носитель и вес функции?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.05.2006, 15:20 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я предлагал функции вида: $$\int_0^x \sum_i a_i \delta(y-y_i)$$. Соответственно носители (где происходят скачки самой функции, а производная сосредоточена там) это точки $y_i$, а веса в этих точках $a_i$. Взяв в качестве носителей точки вида: $y_i=\frac{p_i}{2^k}$, а веса в этих точках зависящей только от k я строил нетривиальные примеры.
Вот ещё один пример функции f(x), принимающей рациональные значения в рациональных точках: Для этого определим функция в интервале (0,1) (дальше можно продолжать). Действительное число х можно записать в виде: $$x=\sum_{k=1}^{\infty } b_k2^{-k}, b_i\in\{0,1\}.$$ Цифрам поставим в соответствие последовательность $m_i$, означающее количество нулей между i - ой 1 и i-1 -ой (при i=1 количество нулей до первой 1. Пусть s(x) функция принимающая неотрицательные целые значения при неотрицательных целых аргументах и s(x)>x. Поставим в соответствие числу х последовательность: $f(x)=\sum_k c_k2^{-k},c_k\in \{0,1\}$, где количество нулей между i- ой 1 и i-1 - ой 1 в последовательности $c_i$ вычисляется как: $s(m_i).$ Для чисел (где происходят разрывы функции) которые могут быть записаны двумя способами одними нулями в конце или одними 1 начиная с некоторого номера при вычислении функции договоримся брать вид заканчивающийся на нули. Легко проверить, что при любой функции s(x)>x функция f(x) получается принимающим рациональные значения при рациональных значениях аргумента, к тому же во всех точках где непрерывно эта функция имеет все производные равные нулю при s(x)>x^2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.05.2006, 19:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно построить бесконечно дифференцируемую неаналитическую функцию принимающую рациональные значения в рациональных точках. Для этого определим функцию f(x) в точке $x=b_i2^{-i}$ таким образом:
$$f(x)=f_1(x)-f_2(x),f_1(x)=\sum_i c_i2^i,f_2(x)=\sum_i a_i d(x-x_i), d(x)=0,x<0>K$. Ясно, что первая функция принимает рациональные значения в рациональных точках и имеет разрывы только в точках $y=2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_K},0<n_1<n_2<...<n_K$ и разрыв в такой точке равен $$2^{-l_1}-2^{-l_2},l_1=K+\sum_{i=1}^K m_i(m_i+1),l_2=l_1+2(m_K+1)$$. Здесь $m_i$ количество нулей между i-ой цифрой 1в х и i-1-ой 1 в х. Функцию $f_2(x)$ определим как функцию разрывов первой функции. Легко понять, что ряд Тейлора для разницы есть линейная функция, коэффициенты которых разные в разных точках.
Если функция аналитическая в некоторой окрестности 0 и принимает рациональные значения в рациональных точках этой окрестности, то она является отношением двух полиномов. Идея доказательства в том, чтобы показать, что для ряда Тейлора $f(x)=a_ix^i$ в этом случае имеет место некоторое рациональное рекурентное соотношение: $a_n=\sum_i r_ia_{n-k}$ начиная с некоторого номера. Все такие функции и только они являются рядом Тейлора рациональных функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group