2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Замена переменной в функциональном интеграле.
Сообщение11.05.2006, 22:28 


17/08/05
23
Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в функциональном интеграле.
Сообщение11.05.2006, 22:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Alexx писал(а):
Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

:evil: В общем случае функциональный интеграл и детерминант вообще не определены
однозначно. Все зависит от того какой функционал интегрируется. Если собираетесь СДУ
решать, то неопределенность о которой Вы говорите, связана только с неопределенностью
формы самого СДУ--Ито или Стратонович.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в функциональном интеграле.
Сообщение11.05.2006, 23:45 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Alexx писал(а):
Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

Если я Вас правильно понял, то Вас волнует в каком виде брать действие в допредельной форме $S(q_{j+1},q_j)$? Насколько я понимаю вопрос сводится к необходимой точности вычисления $S(q_{j+1},q_j)$. Действие можно записать в виде ряда
$S(q_{j+1},q_j)=S_{\text{st}}(q_j,\triangle)+\text{экстрачлены}$, где $\triangle=q_{j+1}-q_j$, а $S_{\text{st}}$ -- стандартное действие (по крайней точке). Два подхода, которые Вы упомянули отличаются экстрачленами. По Ито $\text{экстрачлены}=0$. Чтобы определить какие экстрачлены нужно удерживать необходимо посмотреть какое ДУ получается. Для этого нужно знать как обращаться с экстрачленами. Дело осложняется тем что экстрачлены могут быть не гауссовыми. Здесь могут помочь правила эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 01:51 


17/08/05
23
Вот тут приведена ссылка на одну статью, где присутствует одна из ипостасей замены переменной. Для получения "path integral solution for non-markovian noise"...

http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html

Безусловно, замена переменной может встречаться совсем в других обстоятельствах и совсем для других целей, но везде она сопровождается процедурой дискретизации и выбором типа дискретизации: midpoint discretization(а ля Стратонович) или иного...
В данной статье автор использует midpoint discretization. Между формулами 2.4 и 2.5
автор мотивирует свой выбор так:"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)" Вот этот момент мне не ясен. Какие это такие правильные свойства при замене переменных?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 07:25 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Alexx писал(а):
Вот тут приведена ссылка на одну статью, где присутствует одна из ипостасей замены переменной. Для получения "path integral solution for non-markovian noise"...

http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html

Безусловно, замена переменной может встречаться совсем в других обстоятельствах и совсем для других целей, но везде она сопровождается процедурой дискретизации и выбором типа дискретизации: midpoint discretization(а ля Стратонович) или иного...
В данной статье автор использует midpoint discretization. Между формулами 2.4 и 2.5
автор мотивирует свой выбор так:"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)" Вот этот момент мне не ясен. Какие это такие правильные свойства при замене переменных?

:evil: Я чего йто там не нашел этой писульки. Дайте прямую ссылку.
Вот здесь есть метод, который позволяет избегать этой трудности.
http://66.249.93.104/search?q=cache:vFw ... clnk&cd=15
Вообще имейте ввиду, что функциональные методы которые изложены в литературе,
применяются не к самому СДУ, а к уравнениям Фоккера-Планка. Если Вам нужно классическое решение в смысле ИТО, то таким способом, вообще его получить невозможно,
поскольку прямая связь между СДУ и ФП существует только при очень сильных ограничениях
на коэффициенты (прямая и обратная теоремы Колмогорова для диффузионных процессов)
ФП строго говоря, дает плотность вероятности для обобщенных решений которые вообще
говоря имеют разрывы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замена переменной в функциональном интеграле.
Сообщение12.05.2006, 09:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Alexx писал(а):
Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

С теорией замены переменной в бесконечномерном случае можно ознакомиться здесь
arXiv:math.FA/0211196 v1 13 Nov 2002

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 16:53 


17/08/05
23
Здравствуйте, Котофеич.
Что касается той ссылки, которую я дал
http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html, то она работает!!!

Там просто в появившемся окошке надо кликнуть на кнопку "free" и уже в следующем окошке скачивать. Прямую ссылку дать не могу, т.к. этот файл был у меня на моем компьютере и я его специально разместил на rapidshare.de. Я нашел статью, которую Вы
указали (arXiv:math.FA/0211196 v1 13 Nov 2002)... Весьма тяжеловесная статья...в таком, я бы сказал, абстрактно-формалистическом духе... Я пока еще не понял основной сути того, что там происходит...

Что касается собственно уравнения Фоккера-Планка... То тут-то в ракурсе функционально-вариационного подхода (формула Фурутсу-Новикова, Малахова-Дубкова) проблемы перехода к ур-ю Фоккера-Планка(любимая физиками K-форма) от стохастического ур-я особой нет: переход к уравнению Лиуввиля посредством индикаторной функции и последующее его усреднению по входному процессу (естественно, замкнутый результат может быть получен для небольшого класса уравнений).

Подход Ито-Стратоновича (и возникающая в рамках этих подходов дилемма ) мне честно говоря не нравился никогда... Просто в рамках континуального интегрирования возникает
дилемма, схожая с дилеммой Ито-Стратоновича... Ряд авторов (в частности в этой статье, которую я выложил на rapidshare.de) достаточно туманно мотивируют свой выбор в пользу
"midpoint discretization", объясняя, например, что :"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)". Вот этот-то момент мне и неясен: какие это правильные "трансформационные" свойства при замене переменных?.
Как я мог понять, сходимость к разным приделам (дилемма в духе Ито-Стратоновича) характерна только для интегрирования по мере дельта-коррелированного процесса(винеровская мера) или стох-е интегралы Ито-Стратоновича. Так ли это?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.05.2006, 20:43 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Хорошо, я завтра почитаю и разберусь в чем там дело. В физической литературе
часто путают решения в смысле ИТО :shock: и в смысле обобщенных случайных процессов. Уравнения ИТО не имеют физического смысла, они записываются в форме стохастического дифференциала, который не имеет прямого физического смысла. От этого и неоднозначность
потому что этот дифференциал можно по разному определять. В статье применяется метод
априорных оценок функционального интеграла, однако это не статья, а тезисы доклада и
задача очень сложная ею многие занимались. Что будет не ясно потом объясню.
Функциональный метод перехода от СДУ к уравнению ФП чисто формальный. Если коэффициенты СДУ не ограничены то он просто некорректен, потому что у решений таких СДУ вообще нет гладкой плотности распределения. Функциональный интеграл в этом случае, также (если существует) задает обобщенное решение для ФП а не классическое, как часто
думают физики. Метод перевала который используют физики для вычисления функционального интеграла, это чисто формальный прием и этот же результат всегда может быть получен и без интегралов, например в рамках ВКБ и его обобщений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 15:02 


17/08/05
23
Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 15:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Alexx писал(а):
Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

:evil: То что не заинтересовала, так это и естественно. Эта тема относится к физике.
Математический народ кроме меня и альбеверио мало интересуеся этой проблематикой.
Ну а чем я Вас не устраиваю :?: Если Вы когда ни будь что ни будь захотите опубликовать
на эту тему в серьезнлм журнале, то мое мнение будет решающим. А если мою главную тему
выставили здесь в дискуссионном порядке, то это не о чем не говорит. :P Все зависит от того
что кому нужно...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 15:52 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Alexx писал(а):
Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?


Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 15:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Alexx писал(а):
Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?


Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

:evil: Да он сам не знает что ему нужно. Я обяснил как нужно.Если не верит, то это его трудности. Все зависит от того что конкретному человеку нужно. Цели естественно разные...одним нужно проблемы решать, а матемаикам нужен простой базар, для оправданиям своей беспомощности в фундаментальных вопросах. Современная наука давным давно вступила в коплексную или как принято говорить в интердисциплинарную фазу своего развития. :D Так что сурьезные проблемы решают вовсе не наивные математики а
совсеим другие... 8-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 17:42 


17/08/05
23
Во-первых:
Цитата:
Да он сам не знает что ему нужно. Я обяснил как нужно.Если не верит то это его трудности. Все зависит от того что человеку нужно. Цели естественно разные...


Уважаемый Котофеич, я вот выше цитату из Вас привел... По-моему, как говорится, комментарии тут излишни!!!
Смысл: при полном отсутствии конструктивных высказываний и предложений по поводу интересующей меня проблемы (надеюсь, что не только меня), Вы подспудно выдаете
два post-а весьма СТРАННОГО содержания, которые (мягко говоря) смотрятся не очень адекватно контексту...

Во-вторых: странным кажется мне Ваше утверждение о том, что проблема эта не математическая, а чисто физическая...

В-третьих:
Цитата:
Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

Уважаемый Аурелиано Буэндиа, я имел в виду дискретизацию не только действия: дискретизация встречается и чисто при вычислении функ-х интегралов и при функциональной замене переменных(вычисление Якобиана) и при дискретизации обобщенного ур-я Ланжевена(выше я приводил статью, где дискретизируется обобщ. ур-е Ланжевена).
И мне тут непонятна мотивировка при выборе типа дискретизации: midpoint , endpoint, итд.
Ряд авторов утверждает, что разные типы дискретизации после предельного перехода
приводят к разным результатам, другие говорят, что результат предельного перехода
не зависит от типа дискретизации, ряд авторов дает невнятные ответы, некоторые просто
подгоняют ответ под условия нормировки.
Вот цитата из Вас с моими вопросами там же:
Цитата:
Если я Вас правильно понял, то Вас волнует в каком виде брать действие в допредельной форме ? Насколько я понимаю вопрос сводится к необходимой точности вычисления

(А какая она должна быть? Я видел статью, где утверждается, что она должна быть не ниже O(e^(1+a)), где a>0. Но чем это мотивированно, там не поясняется ).

Действие можно записать в виде ряда
, где , а -- стандартное действие (по крайней точке). Два подхода, которые Вы упомянули отличаются экстрачленами. По Ито . Чтобы определить какие экстрачлены нужно удерживать необходимо посмотреть какое ДУ получается.

О каком ДУ идет речь и как вид этого ДУ сказывается на том какие именно экстрачлены
надо удерживать?


Для этого нужно знать как обращаться с экстрачленами.
В смысле?

Дело осложняется тем что экстрачлены могут быть не гауссовыми. Здесь могут помочь правила эквивалентности.
Тоже не ясно, что тут конкретно имеется в виду...


И все же, инвариантен ли функциональный интеграл (после предельного перехода) по отношению к типу дискретизации(midpoint, endpoint, итд)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 18:06 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Сформулируйте пожалуйста Вашу проблему на стандартном общепринятом математическом языке. В сурьезной математике нет Фейнманов и ихних интегралов. Там есть только интеграл
Лебега с извесными несущественными модификациями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2006, 18:30 


17/08/05
23
И еще... Не побоюсь небольшого оффтопика...
Уважаемый Котофеич, есть конечно вечный спор между физиками и лириками, но
похоже, что и между физиками и математиками он тоже имеет место быть...
Вы помнится разместили в одном из своих постов ссылку на некоего автора с замечательной
французской фамилией Коломбю... Я там увидел и тензорный формализм и еще много чего
Ынтересного... Но это статья одна из МНОГИХ, где во всякого рода формализмах смысл теряется окончательно (и бесповоротно)... Причем ИМЕННО смысла-то обычно бывает ни на ГРОШ... Да порой и ценность-то его сомнительна... Замечательно по поводу того, что порой математика вырождается в нечто совершенно неудобоваримое и анекдотическое (эдакий инопланетный манускрипт, написанный на языке загадочных иероглифов. И вся трудность тут состоит в переводе на человеческий язык.), говорил и писал акад. В.И. Арнольд... Повторять его слова не буду...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group