2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Школьные" сомнения в напряженности...
Сообщение11.10.2009, 17:02 


16/03/07
825
В теме "Гравитационные эффекты Земли и Солнца" я обратил внимание на сложность такого, казалось бы простого, понятия как напряженность поля.

Но для меня только этими сложностями дело не ограничивается. Рассмотрим НЕКАЛИБРОВОЧНОЕ векторное поле $A_{\mu}$ в пространстве-времени Минковского с метрикой $\eta_{\mu \nu}$. Выберем сферическую систему координат$(t,r,\theta,\phi)$ с естественной нумерацией координат от 1 до 4. Метрика будет иметь вид

$$ \eta_{\mu \nu} = \left ( \begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-r^2&0\\
0&0&0&-r^2 \sin^2 \theta
\end{array} \right ) $$

Выпишу необходимые далее ненулевые компоненты связности - символы Кристоффеля второго рода

$$ \Gamma^{3}_{23} = \Gamma^{4}_{24} = \frac{1}{r} $$

$$ \Gamma^{2}_{33} = -r $$

$$ \Gamma^{4}_{34} = \cot \theta $$

$$ \Gamma^{2}_{44} = -r \sin^2 \theta $$

$$ \Gamma^{3}_{44} = - \cos \theta \sin \theta $$

Рассмотрим статический сферически симметричный случай - компоненты векторного поля $A_{\mu}$ зависят только от радиус-вектора $r$ и равны (впрочем конкретный вид зависимости компонент от $r$ даже и не важен)

$$ A_{\mu} = \left ( \begin{array}{c}
\frac{1}{r}\\
-\frac{1}{r}\\
\frac{1}{r^2}\\
-\frac{1}{r^2}
\end{array} \right ) $$

Рассчитаем напряженности поля как ковариантные производные векторного потенциала

$$ D_{\mu} A_{\nu}= \partial_{\mu} A_{\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} $$

Поскольку связность зависит не только от радиус-вектора, но и от угла, то такую же зависимость получат и компоненты напряженостей, например

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \Gamma^{4}_{3 4} A_{4} $$

или

$$ D_{3} A_{4}= \partial_{3} A_{4} - \ctg \theta A_{4} =  \frac{\ctg \theta}{r^2} $$

Получается странный результат - для изотропного векторного потенциала имеем неизотропную напряженность :(

Я думаю - это у меня "лыжи не едут" и профи просветят как все надо правильно делать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Hector


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group