2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Бросьте. Иррациональность корня из двух в школьном курсе вроде была.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Иррациональность $\sqrt 2$ конечно была. Что-то я туплю :( Как её использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 11:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #250613 писал(а):
Иррациональность $\sqrt 2$ конечно была. Что-то я туплю :( Как её использовать?

Школьнику (как и ежу) понятно, что левая часть может быть представлена как $a+b\sqrt2$, причём $a$ то же, что и для исходного выражения, а $b$ имеет противоположный знак. Теперь доказательство сводится к тому, что такое представление единственно. А это ровно и означает иррациональность $\sqrt2$.

(И я совсем не уверен, что последний переход предполагался авторами задачи; вполне возможно, что они готовы были считать его подразумевающимся.)

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Значит, я не ёж :(
Автор давно уже всё понял, я думаю. Так что приведите решение для тупоголовых, если не затруднит.
Левая часть представима в виде $a+b\sqrt 2$. Почему не возможен случай, когда $a=7$, а $b=5$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Kuzya в сообщении #250577 писал(а):
А рациональность появилась, как я понимаю, для запудривания мозгов
Докажите невозможность равенства, если не требовать рациональности.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:13 


11/02/08
83
да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Допустим, что существуют рациональные $x,y,u,v$ такие, что $(x+y\sqrt2)^6+(u+v\sqrt2)^6=7+5\sqrt2$ .
Рассмотрим выражение $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6$
Его рациональная часть... Его иррациональная часть...
Дошло наконец-то. Бедные школьники.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:31 


11/02/08
83
Гм, а до меня не доходит. Каким образом школьник переходит к рассмотрению выражения $(x-y\sqrt2)^6+(u-v\sqrt2)^6$? О чем он думает в момент перехода? )

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Sla_sh в сообщении #250630 писал(а):
да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

Там доказали только для рациональных.
А с нерациональными равенство запросто возможно, например
$x=\sqrt{1+\sqrt{2}}, y=0, u=0, v=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Sla_sh, вот и я о том же. Разве, что его специально натаскивали на ЕГЭ и показали подобную задачу.
А если бы там было $...=8+5\sqrt2?$

Хотя это задача из почти олимпиадного раздела ЕГЭ...

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #250624 писал(а):
Почему не возможен случай, когда $a=7$, а $b=5$?

Потому, что возможен случай, когда $a=7$, а $b=-5$.

Если в выражении $(x+y\sqrt2)^6$ раскрыть скобки, то получится сколько-то слагаемых с различными степенями $y$. Группа слагаемых с чётными степенями сворачивается в некоторое рациональное число $a$. Группа слагаемых с нечётными степенями даёт (после вынесения $\sqrt2$ за скобку) число $b\sqrt2$, где $b$ рационально. Тогда если $(x+y\sqrt2)^6=a+b\sqrt2$, то $(x-y\sqrt2)^6=a-b\sqrt2$ (вот тут-то и используется единственность представления вида $a+b\sqrt2$).

Аналогично для $(u+v\sqrt2)^6$. Т.е. если исходное выражение было равно $7+5\sqrt2$, то после изменения знаков обязательно получится $7-5\sqrt2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
ewert, спасибо, я уже разобрался.
Я просто думал (как и Sla_sh), как научить школьника находить такие решения. Что он должен заметить? Те, кто сразу увидели решение, они сразу догадались или просто решали подобное сто раз?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #250640 писал(а):
, как научить школьника находить такие решения.

Не знаю, я сам не умею такие находить. Но если бы меня надрессировать...

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
gris в сообщении #250640 писал(а):
как научить школьника находить такие решения. Что он должен заметить? Те, кто сразу увидели решение, они сразу догадались или просто решали подобное сто раз?
Да не задача это, а извращение. Таких уродцев надобавляли в ЕГЭ для того, чтобы сказать, что задачи в ЕГЭ не простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЕГЭ- С6
Сообщение10.10.2009, 14:03 


11/02/08
83
TOTAL в сообщении #250636 писал(а):
Sla_sh в сообщении #250630 писал(а):
да выше ж доказали уже. в четвертом посте от начала

Там доказали только для рациональных.
А с нерациональными равенство запросто возможно, например
$x=\sqrt{1+\sqrt{2}}, y=0, u=0, v=0$

там в правой части 7-5\sqrt2$, что равно -0,07.
в левой части при $x=\sqrt{1+\sqrt{2}} у меня получилось 14,07.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group